2396.

Logaritamske nejednačine

Određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od $1 ,$ a argument strogo pozitivan:

Pošto je apsolutna vrednost uvek nenegativna, uslov $|x - 1| > 0$ je ispunjen za svako $x \neq 1 .$ Dakle, domen je:

Zapisujemo broj $1$ kao logaritam sa osnovom $x :$

Definišemo izraz sa apsolutnom vrednošću:

Razlikujemo dva slučaja u zavisnosti od osnove logaritma. Prvi slučaj je kada je osnova između $0$ i $1 .$ Tada je logaritamska funkcija opadajuća, pa se znak nejednakosti menja:

Za $0 < x < 1 ,$ izraz $x - 1$ je negativan, pa je $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x .$ Nejednačina postaje:

Rešavamo dobijenu nejednačinu:

U preseku sa uslovom $0 < x < 1 ,$ dobijamo rešenje za prvi slučaj:

Drugi slučaj je kada je osnova veća od $1 .$ Tada je logaritamska funkcija rastuća, pa znak nejednakosti ostaje isti:

Za $x > 1 ,$ izraz $x - 1$ je pozitivan, pa je $|x - 1| = x - 1 .$ Nejednačina postaje:

Rešavamo dobijenu nejednačinu:

Ova nejednakost je uvek tačna. U preseku sa uslovom $x > 1 ,$ dobijamo rešenje za drugi slučaj:

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja: