2394.

Logaritamske nejednačine

Prvo određujemo domen nejednačine. Osnova logaritma mora biti strogo veća od nule i različita od jedan, a argument logaritma mora biti strogo veći od nule.

Rešavamo sistem uslova za domen. Izraz $x^2 + 1 > 0$ je tačan za svako realno $x .$ Iz prva dva uslova dobijamo:

Domen nejednačine je:

Nejednačinu rešavamo razmatranjem dva slučaja, u zavisnosti od toga da li je osnova logaritma veća od jedan ili je između nule i jedan. Prvi slučaj: osnova je veća od jedan.

Kada je osnova veća od jedan, znak nejednakosti se ne menja prilikom oslobađanja od logaritma.

Sređujemo dobijenu kvadratnu nejednačinu.

Kvadrat realnog broja je uvek nenegativan, pa nejednačina $(x - 1)^2 < 0$ nema rešenja. Dakle, u prvom slučaju nema rešenja.

Drugi slučaj: osnova logaritma je između nule i jedan.

Kada je osnova između nule i jedan, znak nejednakosti se menja prilikom oslobađanja od logaritma.

Sređujemo dobijenu kvadratnu nejednačinu.

Ova nejednačina je tačna za svako $x \neq 1 .$ Kako razmatramo slučaj $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right) ,$ uslov $x \neq 1$ je ispunjen.

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.