2392. Logaritamske nejednačine

Određujemo oblast definisanosti (domen) logaritamske funkcije. Osnova mora biti veća od nule i različita od jedan, a argument veći od nule.

\begin{cases} 2x > 0 \\ 2x \neq 1 \\ 2 - x > 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina za domen.

\begin{cases} x > 0 \\ x \neq \frac{1}{2} \\ x < 2 \end{cases}

Domen nejednačine je presek ovih uslova.

x \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 2\right)

Zapisujemo broj $1$ kao logaritam sa osnovom $2x .$

\log_{2x}(2 - x) < \log_{2x}(2x)

Razlikujemo dva slučaja u zavisnosti od osnove logaritma. Prvi slučaj je kada je osnova između $0$ i $1 .$

0 < 2x < 1 \implies x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)

U prvom slučaju, pošto je osnova manja od $1 ,$ znak nejednakosti se menja.

2 - x > 2x

Rešavamo dobijenu nejednačinu.

3x < 2 \implies x < \frac{2}{3}

Tražimo presek rešenja sa uslovom prvog slučaja.

x \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cap \left(-\infty, \frac{2}{3}\right) \implies x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)

Drugi slučaj je kada je osnova veća od $1 .$

2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}

U drugom slučaju, pošto je osnova veća od $1 ,$ znak nejednakosti ostaje isti.

2 - x < 2x

Rešavamo dobijenu nejednačinu.

3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}

Tražimo presek rešenja sa uslovom drugog slučaja i domenom.

x \in \left(\frac{1}{2}, 2\right) \cap \left(\frac{2}{3}, +\infty\right) \implies x \in \left(\frac{2}{3}, 2\right)

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{2}{3}, 2\right)

2392.Logaritamske nejednačine