2393.

Logaritamske nejednačine

Određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Osnova logaritma mora biti strogo pozitivna i različita od 1, a argument logaritma mora biti strogo pozitivan:

Iz trećeg uslova dobijamo da mora važiti $x > -12 ,$ što je uz $x > 0$ automatski ispunjeno. Domen nejednačine je:

Zapisujemo broj 1 na desnoj strani kao logaritam sa osnovom $x :$

Razlikujemo dva slučaja u zavisnosti od osnove $x .$ Prvi slučaj je kada je osnova veća od 1 ($x > 1$). Tada se znak nejednakosti ne menja:

Pošto je $x > 1 ,$ obe strane nejednačine su pozitivne, pa je možemo kvadrirati:

Faktorišemo kvadratni trinom $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$ i analiziramo znak:

Na osnovu tabele, rešenje kvadratne nejednačine $x^2 - x - 12 < 0$ je:

Uzimajući u obzir uslov prvog slučaja $x > 1 ,$ nalazimo presek:

Drugi slučaj je kada je osnova između 0 i 1 ($0 < x < 1$). Tada se znak nejednakosti menja:

Pošto je $x > 0 ,$ obe strane su pozitivne, pa i ovde možemo kvadrirati:

Na osnovu prethodne tabele znakova, rešenje ove kvadratne nejednačine je:

Uzimajući u obzir uslov drugog slučaja $0 < x < 1 ,$ presek je prazan skup:

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja: