Logaritamska nejednačina: proizvod tri logaritma > 1

Prvo određujemo domen nejednačine. Osnove logaritama moraju biti pozitivne i različite od 1, a argumenti pozitivni.

\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x > 0 \\ 2x \neq 1 \\ 16x > 0 \end{cases}

Rešavanjem ovog sistema dobijamo uslove za domen promenljive $x .$

x \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 1\right) \cup (1, +\infty)

Koristimo pravilo za promenu osnove logaritma $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ i svojstva logaritma da svedemo sve na osnovu 2.

\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}

Primenjujemo isto pravilo na drugi logaritam.

\log_{2x} 2 = \frac{1}{\log_2 (2x)} = \frac{1}{\log_2 2 + \log_2 x} = \frac{1}{1 + \log_2 x}

Treći logaritam rastavljamo koristeći pravilo za logaritam proizvoda.

\log_2 16x = \log_2 16 + \log_2 x = 4 + \log_2 x

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početnu nejednačinu.

\frac{1}{\log_2 x} \cdot \frac{1}{1 + \log_2 x} \cdot (4 + \log_2 x) > 1

Uvodimo smenu $t = \log_2 x .$

\frac{4 + t}{t(1 + t)} > 1

Prebacujemo sve na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac.

\frac{4 + t}{t(1 + t)} - 1 > 0

Množimo i oduzimamo u brojiocu.

\frac{4 + t - t(1 + t)}{t(1 + t)} > 0

Sređujemo brojilac.

\frac{4 + t - t - t^2}{t(1 + t)} > 0 \implies \frac{4 - t^2}{t(1 + t)} > 0

Faktorišemo razliku kvadrata u brojiocu.

\frac{(2 - t)(2 + t)}{t(1 + t)} > 0

Određujemo nule brojioca i imenioca kako bismo formirali tabelu znakova. Kritične tačke su $t \in \{-2, -1, 0, 2\} .$

t \in (-\infty, -2)

t \in (-2, -1)

t \in (-1, 0)

t \in (0, 2)

t \in (2, +\infty)

2 - t

+

+

+

+

-

2 + t

+

+

+

+

+

t

+

+

+

+

+

1 + t

+

+

+

+

+

\frac{(2 - t)(2 + t)}{t(1 + t)}

+

+

+

+

+

t \in (-\infty, -2)

t \in (-2, -1)

t \in (-1, 0)

t \in (0, 2)

t \in (2, +\infty)

2 - t

+

+

+

+

-

2 + t

-

+

+

+

+

t

-

-

-

+

+

1 + t

-

-

+

+

+

\frac{(2 - t)(2 + t)}{t(1 + t)}

-

+

-

+

-//

Na osnovu tabele znakova, biramo intervale gde je izraz strogo pozitivan.

t \in (-2, -1) \cup (0, 2)

Vraćamo smenu $t = \log_2 x$ za prvi interval $-2 < t < -1 .$

-2 < \log_2 x < -1 \implies 2^{-2} < x < 2^{-1} \implies \frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}

Vraćamo smenu za drugi interval $0 < t < 2 .$

0 < \log_2 x < 2 \implies 2^0 < x < 2^2 \implies 1 < x < 4

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu nejednačine. Oba intervala u potpunosti pripadaju domenu, pa je to i konačno rešenje.

x \in \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) \cup (1, 4)

548.a