2387.

Logaritamske nejednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo veći od nule:

Rešavanjem ovog sistema dobijamo uslov za domen:

Svodimo logaritme na istu osnovu. Znamo da je $25 = 5^2 ,$ pa primenjujemo pravilo $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b :$

Množimo celu nejednačinu sa 2 kako bismo se oslobodili razlomka:

Primenjujemo pravilo za logaritme $k \log_a b = \log_a b^k :$

Pošto je osnova logaritma veća od 1 ($5 > 1$), logaritamska funkcija je rastuća, pa znak nejednakosti ostaje isti kada oslobodimo argumente:

Prebacujemo sve članove na levu stranu:

Faktorišemo kvadratni trinom $x^2 - 3x + 2$ nalaženjem njegovih nula. Nule su $x_1 = 1$ i $x_2 = 2 ,$ pa se nejednačina može zapisati kao:

Na osnovu tabele, rešenje nejednačine $(x - 1)(x - 2) \geqslant 0$ je:

Konačno rešenje dobijamo u preseku rešenja kvadratne nejednačine i domena $x > \frac{2}{3} :$