2389.

Logaritamske nejednačine

Domen nejednačine je određen uslovom da argument logaritma mora biti pozitivan:

Prevodimo logaritme na istu osnovu. Izabraćemo osnovu $4 .$ Koristimo formulu za promenu osnove $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} :$

Pošto je $\log_4 (1/5) = \log_4 (5^{-1}) = -\log_4 5 ,$ dobijamo:

Zamenjujemo ovo u polaznu nejednačinu:

Izvlačimo $\log_4 x$ ispred zagrade:

Svodeći izraz u zagradi na zajednički imenilac, dobijamo:

Pošto je $\log_4 5 > \log_4 4 = 1 ,$ sledi da je $\log_4 5 - 1 > 0 .$ Takođe, $\log_4 5 > 0 .$ Zbog toga je izraz u zagradi pozitivan, pa prilikom deljenja znak nejednakosti ostaje nepromenjen:

Sređujemo izraz na desnoj strani nejednakosti. Znamo da je $1 = \log_4 4 :$

Primenom formule za promenu osnove $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a ,$ dobijamo:

Sada nejednačina glasi:

Pošto je osnova logaritma $4 > 1 ,$ funkcija je rastuća, pa se oslobađamo logaritma zadržavajući znak nejednakosti:

Uzimajući u obzir uslov domena $x > 0 ,$ konačno rešenje je: