2399. Logaritamske nejednačine

Prvo određujemo domen nejednačine. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan:

2x - 1 > 0

Rešavamo nejednačinu za domen:

x > \frac{1}{2}

Sređujemo desnu stranu nejednačine. Koristimo osobinu logaritma $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b :$

\log_{1/2} 2 = \log_{2^{-1}} 2 = -1 \cdot \log_2 2 = -1

Zapisujemo početnu nejednačinu sa sređenom desnom stranom:

\log_2(2x - 1) > -1

Zapisujemo broj $-1$ kao logaritam sa osnovom $2 :$

-1 = \log_2(2^{-1}) = \log_2\left(\frac{1}{2}\right)

Zamenjujemo ovo u nejednačinu:

\log_2(2x - 1) > \log_2\left(\frac{1}{2}\right)

Pošto je osnova logaritma $2 > 1 ,$ funkcija je rastuća, pa se znak nejednakosti ne menja kada oslobodimo argumente:

2x - 1 > \frac{1}{2}

Rešavamo dobijenu linearnu nejednačinu:

2x > 1 + \frac{1}{2}

Sabiramo brojeve na desnoj strani:

2x > \frac{3}{2}

Delimo nejednačinu sa $2 :$

x > \frac{3}{4}

Konačno rešenje dobijamo u preseku sa uslovom domena $x > \frac{1}{2} :$

x \in \left(\frac{3}{4}, +\infty\right)

2399.Logaritamske nejednačine