2397.

Logaritamske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine (zadaci 545-549):

log⁡3x<log⁡9(x+2)\log_3 x < \log_9(x + 2)
REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen nejednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo veći od nule:

{x>0x+2>0  ⟹  {x>0x>−2\begin{cases} x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > -2 \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen nejednačine:

x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)

Svodimo logaritme na istu osnovu. Koristimo osobinu log⁡akb=1klog⁡ab: \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b :

log⁡9(x+2)=log⁡32(x+2)=12log⁡3(x+2)\log_9(x + 2) = \log_{3^2}(x + 2) = \frac{1}{2} \log_3(x + 2)

Zatim koristimo osobinu klog⁡ab=log⁡abk: k \log_a b = \log_a b^k :

12log⁡3(x+2)=log⁡3(x+2)12=log⁡3x+2\frac{1}{2} \log_3(x + 2) = \log_3(x + 2)^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{x + 2}

Sada polazna nejednačina postaje:

log⁡3x<log⁡3x+2\log_3 x < \log_3 \sqrt{x + 2}

Pošto je osnova logaritma veća od 1 (3>1 3 > 1 ), funkcija je rastuća, pa se znak nejednakosti ne menja kada uklonimo logaritme:

x<x+2x < \sqrt{x + 2}

Rešavamo dobijenu iracionalnu nejednačinu. S obzirom na to da je na osnovu domena x>0, x > 0 , obe strane nejednačine su pozitivne, pa ih možemo kvadrirati:

x2<x+2x^2 < x + 2

Prebacujemo sve članove na levu stranu:

x2−x−2<0x^2 - x - 2 < 0

Nalazimo nule kvadratnog trinoma x2−x−2=0 x^2 - x - 2 = 0 i faktorišemo ga:

x1,2=1±1−4⋅1⋅(−2)2=1±32  ⟹  x1=2,x2=−1  ⟹  (x−2)(x+1)<0x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 2, x_2 = -1 \implies (x - 2)(x + 1) < 0
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,2)x \in (-1, 2)
x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
x−2x - 2
++
++
−-
x+1x + 1
++
++
++
(x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1)
++
++
++

Na osnovu tabele, izraz je manji od nule za:

x∈(−1,2)x \in (-1, 2)

Konačno rešenje dobijamo u preseku rešenja kvadratne nejednačine i domena:

x∈(−1,2)∩(0,+∞)x \in (-1, 2) \cap (0, +\infty)

Konačno rešenje je:

x∈(0,2)x \in (0, 2)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti