Podeli

2398.
Logaritamske nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen nejednačine. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan:

x > 0

Svodimo sve logaritme na osnovu 3 koristeći osobinu $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b :$

\begin{aligned} \log_{\sqrt{3}} x &= \log_{3^{1/2}} x = 2 \log_3 x \\ \log_{1/3} x &= \log_{3^{-1}} x = - \log_3 x \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu nejednačinu:

\log_3 x + 2 \log_3 x - \log_3 x < 6

Sređujemo izraz na levoj strani:

2 \log_3 x < 6

Delimo nejednačinu sa 2:

\log_3 x < 3

Pošto je osnova logaritma veća od 1 ( $3 > 1$ ), znak nejednakosti se ne menja:

x < 3^3 \implies x < 27

Uzimajući u obzir uslov domena ( $x > 0$ ), konačno rešenje je:

x \in (0, 27)

2398.Logaritamske nejednačine