Podeli

2372.
Logaritamske nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni, a imenilac različit od nule:

1^\circ \quad \frac{x+1}{x-1} > 0 \\ 2^\circ \quad \log_3 \frac{x+1}{x-1} > 0 \\ 3^\circ \quad x - 1 \neq 0

Rešavamo uslov $\log_3 \frac{x+1}{x-1} > 0 .$ Pošto je osnova $3 > 1 ,$ znak nejednakosti se ne menja:

\frac{x+1}{x-1} > 3^0 \implies \frac{x+1}{x-1} > 1

Sređujemo nejednačinu $\frac{x+1}{x-1} - 1 > 0 :$

\frac{x+1 - (x-1)}{x-1} > 0 \implies \frac{2}{x-1} > 0

Iz $\frac{2}{x-1} > 0$ sledi da imenilac mora biti pozitivan, pa je domen nejednačine:

x - 1 > 0 \implies x > 1

Sada rešavamo polaznu nejednačinu. Pošto je osnova spoljašnjeg logaritma $1/2 < 1 ,$ prilikom oslobađanja logaritma znak nejednakosti se okreće:

\log_3 \frac{x+1}{x-1} \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^0 \implies \log_3 \frac{x+1}{x-1} \leqslant 1

Pošto je osnova $3 > 1 ,$ oslobađamo se preostalog logaritma bez promene znaka nejednakosti:

\frac{x+1}{x-1} \leqslant 3^1 \implies \frac{x+1}{x-1} \leqslant 3

Prebacujemo sve na jednu stranu i svodimo na zajednički imenilac:

\frac{x+1}{x-1} - 3 \leqslant 0 \implies \frac{x+1 - 3(x-1)}{x-1} \leqslant 0 \\ \frac{x+1 - 3x + 3}{x-1} \leqslant 0 \\ \frac{-2x + 4}{x-1} \leqslant 0

Skraćivanjem sa 2 i množenjem sa -1 (što menja znak nejednakosti), dobijamo:

\frac{x-2}{x-1} \geqslant 0

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 2)

x \in (2, +\infty)

x-2

-

-

+

x-1

-

+

+

(x-2)/(x-1)

+

-

+

Rešenje ove nejednačine je $x \in (-\infty, 1) \cup [2, +\infty) .$ Uzimajući u obzir domen $x > 1 ,$ dobijamo konačno rešenje:

x \in [2, +\infty)

2372.Logaritamske nejednačine