2376. Logaritamske nejednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo veći od nule.

\begin{cases} x^2 - 5 > 0 \\ \log_4(x^2 - 5) > 0 \end{cases}

Rešavamo uslov $\log_4(x^2 - 5) > 0 .$ Pošto je osnova $4 > 1 ,$ znak nejednakosti se ne menja:

x^2 - 5 > 4^0 \implies x^2 - 5 > 1 \implies x^2 - 6 > 0

Rešavamo kvadratnu nejednačinu $x^2 - 6 > 0 .$ Nule su $x = \pm \sqrt{6} .$ Izraz je pozitivan van nula.

x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)

Sada rešavamo polaznu nejednačinu. Pošto je osnova spoljašnjeg logaritma $1/3 < 1 ,$ prilikom oslobađanja logaritma znak nejednakosti se okreće:

\log_4(x^2 - 5) < (1/3)^0 \implies \log_4(x^2 - 5) < 1

Sada se oslobađamo logaritma osnove 4. Pošto je $4 > 1 ,$ znak ostaje isti:

x^2 - 5 < 4^1 \implies x^2 - 5 < 4 \implies x^2 - 9 < 0

Rešavamo kvadratnu nejednačinu $x^2 - 9 < 0 .$ Nule su $x = \pm 3 .$ Izraz je negativan između nula.

x \in (-3, 3)

Konačno rešenje dobijamo u preseku uslova domena i rešenja nejednačine:

x \in ((-3, 3) \cap ((-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)))

Zapisujemo konačan skup rešenja:

x \in (-3, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3)

2376.Logaritamske nejednačine