2373.

Logaritamske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

log⁡2x−1x+1<1\log_2 \frac{x - 1}{x + 1} < 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen nejednačine. Argument logaritma mora biti strogo veći od nule:

x−1x+1>0\frac{x - 1}{x + 1} > 0
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,1)x \in (-1, 1)
x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
x−1x - 1
− -
− -
+ +
x+1x + 1
− -
+ +
+ +
x−1x+1\frac{x - 1}{x + 1}
+ +
− -
+ +

Iz tabele vidimo da je domen funkcije:

Df:x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)D_f: x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)

Sada rešavamo samu nejednačinu. Pošto je osnova logaritma 2>1, 2 > 1 , znak nejednakosti se ne menja pri prelasku na argumente:

x−1x+1<21\frac{x - 1}{x + 1} < 2^1

Prebacujemo sve na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac:

x−1x+1−2<0x−1−2(x+1)x+1<0x−1−2x−2x+1<0−x−3x+1<0\frac{x - 1}{x + 1} - 2 < 0 \\ \frac{x - 1 - 2(x + 1)}{x + 1} < 0 \\ \frac{x - 1 - 2x - 2}{x + 1} < 0 \\ \frac{-x - 3}{x + 1} < 0

Množimo brojilac sa −1 -1 (uz promenu znaka nejednakosti) radi lakše analize:

x+3x+1>0\frac{x + 3}{x + 1} > 0
x∈(−∞,−3)x \in (-\infty, -3)
x∈(−3,−1)x \in (-3, -1)
x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
x+3x + 3
− -
+ +
+ +
x+1x + 1
− -
− -
+ +
x+3x+1\frac{x + 3}{x + 1}
+ +
− -
+ +

Rešenje ove nejednačine je:

x∈(−∞,−3)∪(−1,+∞)x \in (-\infty, -3) \cup (-1, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku domena Df D_f i dobijenog skupa rešenja:

x∈((−∞,−1)∪(1,+∞))∩((−∞,−3)∪(−1,+∞))x \in ((-\infty, -1) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, -3) \cup (-1, +\infty))

Konačan skup rešenja je:

x∈(−∞,−3)∪(1,+∞)x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti