2377.

Logaritamske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti logaritamsku nejednačinu:

log⁡1/54x+6x⩾0\log_{1/5} \frac{4x + 6}{x} \geqslant 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen nejednačine. Argument logaritma mora biti strogo veći od nule:

4x+6x>0\frac{4x + 6}{x} > 0
x∈(−∞,−3/2)x \in (-\infty, -3/2)
x∈(−3/2,0)x \in (-3/2, 0)
x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
4x+64x+6
−-
++
++
xx
−-
−-
++
KolicˇnikKoličnik
++
−-
++

Iz tabele vidimo da je domen funkcije:

Df:x∈(−∞,−3/2)∪(0,+∞)D_f: x \in (-\infty, -3/2) \cup (0, +\infty)

Pošto je osnova logaritma 1/5 1/5 manja od 1, pri prelasku na nejednačinu argumenata menja se smer znaka nejednakosti. Broj 0 pišemo kao log⁡1/51: \log_{1/5} 1 :

4x+6x⩽1\frac{4x + 6}{x} \leqslant 1

Prebacujemo jedinicu na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac:

4x+6x−1⩽0  ⟹  4x+6−xx⩽0  ⟹  3x+6x⩽0\frac{4x + 6}{x} - 1 \leqslant 0 \implies \frac{4x + 6 - x}{x} \leqslant 0 \implies \frac{3x + 6}{x} \leqslant 0

Sređujemo izraz deljenjem brojioca sa 3:

x+2x⩽0\frac{x + 2}{x} \leqslant 0
x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2)
x∈[−2,0)x \in [-2, 0)
x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
x+2x+2
−-
++
++
xx
−-
−-
++
KolicˇnikKoličnik
++
−-
++

Rešenje ove nejednačine je interval:

x∈[−2,0)x \in [-2, 0)

Konačno rešenje dobijamo u preseku rešenja nejednačine i domena Df: D_f :

x∈[−2,0)∩((−∞,−3/2)∪(0,+∞))x \in [-2, 0) \cap ((-\infty, -3/2) \cup (0, +\infty))

Konačan skup rešenja je:

x∈[−2,−3/2)x \in [-2, -3/2)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti