Logaritamska nejednačina sa osnovom 1/2 i trinomom

Prvo određujemo domen nejednačine. Argument logaritma mora biti strogo veći od nule:

x^2 - 4x + 3 > 0

Nalazimo nule kvadratne funkcije $x^2 - 4x + 3 = 0$ koristeći kvadratnu formulu:

x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 3)

x \in (3, +\infty)

x^2 - 4x + 3

+

-

+

Domen nejednačine je skup vrednosti za koje je trinom pozitivan:

D: x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)

Sada rešavamo samu nejednačinu. Pošto je osnova logaritma $a = 1/2$ (što je manje od 1), pri prelasku na nejednakost argumenata znak nejednakosti se okreće:

x^2 - 4x + 3 \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}

Računamo vrednost desne strane:

\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8

Sređujemo nejednačinu:

x^2 - 4x + 3 \leqslant 8 \implies x^2 - 4x - 5 \leqslant 0

Nalazimo nule trinoma $x^2 - 4x - 5 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}

x \in (-\infty, -1)

x \in (-1, 5)

x \in (5, +\infty)

x^2 - 4x - 5

+

-

+

Rešenje ove nejednačine je interval gde je trinom negativan ili nula:

x \in [-1, 5]

Konačno rešenje dobijamo traženjem preseka rešenja nejednačine i domena:

x \in [-1, 5] \cap ((-\infty, 1) \cup (3, +\infty))

Konačan skup rešenja je:

x \in [-1, 1) \cup (3, 5]

Započni učenje

Online časovi

546.b

Beleške