2370.

Logaritamske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti logaritamsku nejednačinu:

log⁡1/2(x2−4x+3)⩾−3\log_{1/2}(x^2 - 4x + 3) \geqslant -3
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen nejednačine. Argument logaritma mora biti strogo veći od nule:

x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0

Nalazimo nule kvadratne funkcije x2−4x+3=0 x^2 - 4x + 3 = 0 koristeći kvadratnu formulu:

x1,2=4±(−4)2−4⋅1⋅32⋅1=4±16−122=4±22x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}
x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,3)x \in (1, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x2−4x+3x^2 - 4x + 3
++
−-
++

Domen nejednačine je skup vrednosti za koje je trinom pozitivan:

D:x∈(−∞,1)∪(3,+∞)D: x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)

Sada rešavamo samu nejednačinu. Pošto je osnova logaritma a=1/2 a = 1/2 (što je manje od 1), pri prelasku na nejednakost argumenata znak nejednakosti se okreće:

x2−4x+3⩽(12)−3x^2 - 4x + 3 \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}

Računamo vrednost desne strane:

(12)−3=23=8\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8

Sređujemo nejednačinu:

x2−4x+3⩽8  ⟹  x2−4x−5⩽0x^2 - 4x + 3 \leqslant 8 \implies x^2 - 4x - 5 \leqslant 0

Nalazimo nule trinoma x2−4x−5=0: x^2 - 4x - 5 = 0 :

x1,2=4±16−4⋅1⋅(−5)2=4±362=4±62x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,5)x \in (-1, 5)
x∈(5,+∞)x \in (5, +\infty)
x2−4x−5x^2 - 4x - 5
++
−-
++

Rešenje ove nejednačine je interval gde je trinom negativan ili nula:

x∈[−1,5]x \in [-1, 5]

Konačno rešenje dobijamo traženjem preseka rešenja nejednačine i domena:

x∈[−1,5]∩((−∞,1)∪(3,+∞))x \in [-1, 5] \cap ((-\infty, 1) \cup (3, +\infty))

Konačan skup rešenja je:

x∈[−1,1)∪(3,5]x \in [-1, 1) \cup (3, 5]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti