1935. Eksponencijalna funkcija i njen grafik

Prvo određujemo domen funkcije. Pošto se promenljiva $x$ nalazi u imeniocu i unutar apsolutne vrednosti u imeniocu, mora važiti:

|x| \neq 0 \implies x \neq 0

Definišemo apsolutnu vrednost $|x|$ prema definiciji:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x > 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Sada analiziramo funkciju za dva slučaja na osnovu definicije apsolutne vrednosti. Prvi slučaj je kada je $x > 0 :$

y = 2^{\frac{x^2}{x}} = 2^x, \quad \text{za } x > 0

Drugi slučaj je kada je $x < 0 :$

y = 2^{\frac{x^2}{-x}} = 2^{-x}, \quad \text{za } x < 0

Objedinjujemo rezultate. Funkcija se može zapisati kao:

y = \begin{cases} 2^x, & x > 0 \\ 2^{-x}, & x < 0 \end{cases}

Primetimo da je funkcija parna jer je $f(-x) = 2^{\frac{(-x)^2}{|-x|}} = 2^{\frac{x^2}{|x|}} = f(x) .$ Grafik je simetričan u odnosu na $y$ -osu. Za $x > 0$ crtamo eksponencijalnu krivu $2^x ,$ a za $x < 0$ njenu simetričnu sliku $2^{-x} .$ Tačka $(0,1)$ je 'prazna' jer funkcija nije definisana za $x=0 ,$ ali joj teži sa obe strane.

\lim_{x \to 0} 2^{\frac{x^2}{|x|}} = 2^0 = 1

478.g