1945. Eksponencijalna funkcija i njen grafik

Prvo definišemo apsolutnu vrednost $|x|$ koja se pojavljuje u eksponentu funkcije.

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, funkciju $y$ možemo zapisati kao razgranatu funkciju za dva različita intervala domena.

y = \begin{cases} 2^{x+1}, & \text{za } x \ge 0 \\ 2^{-x+1}, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Analizirajmo prvi deo grafika za $x \ge 0 .$ To je eksponencijalna funkcija $y = 2^{x+1} .$ Za $x = 0 ,$ vrednost je $y = 2^1 = 2 .$ Kako baza $2 > 1 ,$ funkcija raste na ovom intervalu.

x \ge 0 \implies y = 2^{x+1}

Analizirajmo drugi deo grafika za $x < 0 .$ To je funkcija $y = 2^{-x+1} .$ Primetimo da je $2^{-x+1} = 2 \cdot 2^{-x} = 2 \cdot (\frac{1}{2})^x .$ Za $x \to -\infty ,$ vrednost $y \to +\infty ,$ a kako se približavamo nuli sa leve strane, vrednost teži ka $2^1 = 2 .$

x < 0 \implies y = 2^{-x+1}

Primetimo da je funkcija parna jer važi $f(-x) = 2^{|-x|+1} = 2^{|x|+1} = f(x) .$ To znači da je grafik simetričan u odnosu na $y$ -osu. Grafik ima oblik slova 'V' sa zaobljenim dnom u tački $(0, 2) ,$ gde dostiže svoj minimum.

f(x) = f(-x)

478.đ