Kvadratne nejednačine

Linearne nejednačine si rešavao/la tako što si izolovala promenljivu na jednoj strani. Kvadratne nejednačine ne funkcionišu tako jer $x$ nastupa dva puta, sa različitim stepenima. Umesto da izoluješ $x$ , pronalaziš gde je kvadratna funkcija pozitivna, a gde negativna. Ključ je u grafikonu parabole.

Osnovna kvadratna nejednačina

Svaka kvadratna nejednačina svodi se na oblik $ax^2 + bx + c \lessgtr 0$ .

Postupak rešavanja:

Pronađi nule kvadratne funkcije $f(x) = ax^2 + bx + c$ rešavanjem jednačine $ax^2 + bx + c = 0$ .
Nacrtaj (ili zamisli) parabolu: ako je $a > 0$ , parabola je okrenuta otvorom nagore; ako je $a < 0$ , okrenuta je otvorom nadole.
Na osnovu grafika očitaj na kojim intervalima je $f(x) > 0$ (parabola iznad $x$ -ose) i na kojim je $f(x) < 0$ (parabola ispod $x$ -ose).
Zapiši interval koji odgovara znaku nejednačine. Ako nejednačina uključuje jednakost ( $\leq$ ili $\geq$ ), nule se uključuju u rešenje.

Ishod zavisi od diskriminante $D = b^2 - 4ac$ .

Slučaj D > 0: dve nule

Postoje dve različite realne nule $x_1 < x_2$ .

$a > 0$

$f(x) > 0$ za $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$
$f(x) < 0$ za $x \in (x_1, x_2)$

$a < 0$

$f(x) > 0$ za $x \in (x_1, x_2)$
$f(x) < 0$ za $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$

Za nejednačine sa $\leq$ ili $\geq$ u rešenje uključiti i nule $x_1$ i $x_2$ .

Slučaj D = 0: jedna nula

Parabola dodiruje $x$ -osu u tački $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ , ali je ne seče. Nema promene znaka.

$a > 0$

$f(x) > 0$ za $x \in (-\infty, x_0) \cup (x_0, +\infty)$
$f(x) = 0$ za $x = x_0$
$f(x) < 0$ : nema rešenja

$a < 0$

$f(x) < 0$ za $x \in (-\infty, x_0) \cup (x_0, +\infty)$
$f(x) = 0$ za $x = x_0$
$f(x) > 0$ : nema rešenja

Slučaj D < 0: nema realnih nula

Parabola uopšte ne seče $x$ -osu. Funkcija ne menja znak ni u jednoj tački.

$a > 0$

$f(x) > 0$ za sve $x \in \mathbb{R}$
$f(x) < 0$ : nema rešenja

$a < 0$

$f(x) < 0$ za sve $x \in \mathbb{R}$
$f(x) > 0$ : nema rešenja

Nejednačine sa parametrom

Zadaci sa parametrom traže da se odredi za koje vrednosti parametra $m$ nejednačina važi za sva realna $x$ . Uslov "važi za sve $x$ " znači da kvadratna funkcija nikad ne menja znak u suprotnom smeru.

Da bi $ax^2 + bx + c > 0$ za sve $x \in \mathbb{R}$ , mora biti: $a > 0 \quad \text{i} \quad D < 0$

Da bi $ax^2 + bx + c < 0$ za sve $x \in \mathbb{R}$ , mora biti: $a < 0 \quad \text{i} \quad D < 0$

Odrediti $m$ tako da $x^2 - (m-3)x + m > 0$ važi za sve $x \in \mathbb{R}$ .

Korak 1. Koeficijenti su $a = 1$ , $b = -(m-3)$ , $c = m$ . Pošto je $a = 1 > 0$ , uslov za $a$ je automatski ispunjen.

Korak 2. Tražimo kada je $D < 0$ : $D = (-(m-3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = (m-3)^2 - 4m = m^2 - 6m + 9 - 4m = m^2 - 10m + 9$

Korak 3. Rešavamo $m^2 - 10m + 9 < 0$ . Nule su: $m_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2} \implies m_1 = 1,\quad m_2 = 9$

Korak 4. Pošto je koeficijent uz $m^2$ pozitivan, trinom je negativan između nula:

$\boxed{m \in (1,\ 9)}$

Parametar se tretira kao nova promenljiva. Uslov $D < 0$ sam po sebi postaje kvadratna nejednačina po $m$ , i rešavaš je istim postupkom kao i originalnu nejednačinu.

Sistem kvadratnih nejednačina

Sistem dve kvadratne nejednačine rešava se tako što se svaka nejednačina reši posebno, a zatim se traži presek skupova rešenja.

Rešiti sistem: $\begin{cases} x^2 - x - 12 < 0 \\ x^2 - 2x > 0 \end{cases}$

Korak 1. Rešimo prvu nejednačinu. Nule od $x^2 - x - 12 = 0$ : $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \implies x_1 = -3,\quad x_2 = 4$

Pošto je $a = 1 > 0$ , funkcija je negativna između nula: $x \in (-3,\ 4)$ .

Korak 2. Rešimo drugu nejednačinu. Faktorišemo: $x(x - 2) > 0$

Nule su $x = 0$ i $x = 2$ . Pošto je $a = 1 > 0$ , funkcija je pozitivna izvan nula: $x \in (-\infty,\ 0) \cup (2,\ +\infty)$

Korak 3. Tražimo presek:

$\boxed{x \in (-3,\ 0) \cup (2,\ 4)}$

Dvostruka nejednačina

Nejednačina oblika $A \leq f(x) \leq B$ direktno se razlaže na sistem dve nejednačine.

Rešiti: $-2 \leq x^2 - x - 2 \leq 4$

Korak 1. Razlažemo na sistem: $\begin{cases} x^2 - x - 2 \geq -2 \\ x^2 - x - 2 \leq 4 \end{cases}$

Korak 2. Rešimo prvu nejednačinu: $x^2 - x - 2 \geq -2 \iff x^2 - x \geq 0 \iff x(x-1) \geq 0$

Nule su $0$ i $1$ . Pošto je $a = 1 > 0$ , izraz je nenegativan izvan nula (i u njima): $x \in (-\infty,\ 0] \cup [1,\ +\infty)$

Korak 3. Rešimo drugu nejednačinu: $x^2 - x - 2 \leq 4 \iff x^2 - x - 6 \leq 0$

Nule od $x^2 - x - 6 = 0$ : $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \implies x_1 = -2,\quad x_2 = 3$

Funkcija je nepositivna između nula: $x \in [-2,\ 3]$ .

Korak 4. Presek: $\left((-\infty,\ 0] \cup [1,\ +\infty)\right) \cap [-2,\ 3]$

$\boxed{x \in [-2,\ 0] \cup [1,\ 3]}$

Nejednačine sa apsolutnom vrednošću

Nejednačina oblika $|f(x)| < B$ ekvivalentna je sistemu $-B < f(x) < B$ . Ovo je dvostruka nejednačina, rešava se kao u prethodnom poglavlju.

Pravilo za apsolutnu vrednost:

$|A| < B \iff -B < A < B$
$|A| > B \iff A < -B \text{ ili } A > B$

Rešiti: $|x^2 - 5x + 5| < 1$

Korak 1. Primenom pravila $|A| < B \iff -B < A < B$ : $-1 < x^2 - 5x + 5 < 1$

Korak 2. Razlažemo na sistem: $\begin{cases} x^2 - 5x + 5 > -1 \\ x^2 - 5x + 5 < 1 \end{cases}$

Korak 3. Rešimo prvu nejednačinu: $x^2 - 5x + 6 > 0$

Nule: $x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ . Pošto je $a > 0$ , izraz je pozitivan izvan nula: $x \in (-\infty,\ 2) \cup (3,\ +\infty)$

Korak 4. Rešimo drugu nejednačinu: $x^2 - 5x + 4 < 0$

Nule: $x_1 = 1$ , $x_2 = 4$ . Pošto je $a > 0$ , izraz je negativan između nula: $x \in (1,\ 4)$

Korak 5. Presek: $\left((-\infty,\ 2) \cup (3,\ +\infty)\right) \cap (1,\ 4) = (1,\ 2) \cup (3,\ 4)$

$\boxed{x \in (1,\ 2) \cup (3,\ 4)}$

Primena: domen funkcije sa korenom

Da bi izraz $\sqrt{f(x)}$ bio definisan u skupu realnih brojeva, mora biti $f(x) \geq 0$ . Ovo je direktno kvadratna nejednačina.

Odrediti domen funkcije $y = \sqrt{(x-3)(x+4)}$ .

Postavljamo uslov: $(x-3)(x+4) \geq 0$

Nule su $x = -4$ i $x = 3$ . Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan (razvijanjem dobijamo $x^2 + x - 12$ ), izraz je nenegativan izvan nula i u njima:

$\boxed{D_f = (-\infty,\ -4] \cup [3,\ +\infty)}$

Za izraz oblika $\sqrt{\dfrac{f(x)}{g(x)}}$ uslov je $\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ , a ne $f(x) \cdot g(x) \geq 0$ . Razlika je u tome što imenilac ne sme biti nula čak i kada je nejednačina nestroga.

Kvadratne nejednačine

Sadržaj

Osnovna kvadratna nejednačina

Slučaj D > 0: dve nule

Slučaj D = 0: jedna nula

Slučaj D < 0: nema realnih nula

Nejednačine sa parametrom

Sistem kvadratnih nejednačina

Dvostruka nejednačina

Nejednačine sa apsolutnom vrednošću

Primena: domen funkcije sa korenom

Lekcije iz iste oblasti

Kvadratna jednačina

Jednačine koje se svode na kvadratne

Sistemi kvadratnih jednačina

Iracionalne jednačine i nejednačine

Zadaci za vežbanje