Kvadratne jednačine

Uvod

Do sada ste rešavali linearne jednačine oblika $ax + b = 0$ . Takva jednačina uvek ima tačno jedno rešenje: $x = -\frac{b}{a}$ .

Kvadratne jednačine su sledeći korak. Jednačina $ax^2 + bx + c = 0$ može imati dva rešenja, jedno ili nijedno.

Sadržaj

Opšti oblik kvadratne jednačine
Diskriminanta i broj rešenja
Nepotpune kvadratne jednačine
- 3.1 Tip: $c = 0$ (nema slobodnog člana)
- 3.2 Tip: $b = 0$ (nema linearnog člana)
Faktorizacija
Jednačine koje se svode na kvadratne
- 5.1 Jednačine sa razvijanjem formula
- 5.2 Jednačine sa razlomcima
Vijetove formule
Tekstualni zadaci
- 7.1 Geometrijski zadaci
- 7.2 Zadaci o kretanju

1. Opšti oblik kvadratne jednačine

Svaka kvadratna jednačina može se napisati u obliku:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

gde su $a$ , $b$ , $c$ realni brojevi. Koeficijent $a$ se zove vodeći koeficijent, $b$ je koeficijent uz linearni član, a $c$ je slobodan član.

Rešenja se nalaze glavnom formulom:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Ovo je najvažnija formula u celoj oblasti. Ona radi za svaku kvadratnu jednačinu, bez izuzetka.

2. Diskriminanta i broj rešenja

Izraz ispod korena u glavnoj formuli ima posebno ime i poseban značaj:

$D = b^2 - 4ac$

Vrednost diskriminante $D$ govori koliko rešenja jednačina ima, još pre nego što je rešimo:

Uslov	Broj rešenja	Šta to znači
$D > 0$	Dva različita realna rešenja	$x_1 \neq x_2$
$D = 0$	Jedno (dvostruko) realno rešenje	$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
$D < 0$	Nema realnih rešenja	Rešenja su kompleksna

Jednačina: $4x^2 - 4x - 3 = 0$

Koeficijenti: $a = 4$ , $b = -4$ , $c = -3$

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 > 0 \implies \text{dva rešenja}$

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8}$

$x_1 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \qquad x_2 = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

3. Nepotpune kvadratne jednačine

Kada nedostaje jedan od koeficijenata ( $b$ ili $c$ ), radi se o nepotpunoj kvadratnoj jednačini koja se može rešiti brže bez glavne formule.

Nepotpune jednačine su samo prečice. Uvek možete primeniti glavnu formulu $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ i dobićete isti rezultat. Metode opisane ispod su jednostavno brže i elegantnije za ove posebne slučajeve.

3.1 Tip: $c = 0$ (nema slobodnog člana)

Jednačina oblika $ax^2 + bx = 0$ rešava se izvlačenjem $x$ ispred zagrade:

$x(ax + b) = 0$

Iz ovoga sledi da je $x_1 = 0$ uvek jedno rešenje, a drugo se dobija iz linearne jednačine $ax + b = 0$ .

Jednačina: $5x^2 + 9x = 0$

$x(5x + 9) = 0$

$x_1 = 0, \qquad 5x + 9 = 0 \implies x_2 = -\frac{9}{5}$

3.2 Tip: $b = 0$ (nema linearnog člana)

Jednačina oblika $ax^2 + c = 0$ rešava se direktnim korenovanjem:

$x^2 = -\frac{c}{a} \implies x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$

Rešenja postoje samo ako je $-\frac{c}{a} \geq 0$ .

Jednačina: $x^2 - 16 = 0$

$x^2 = 16 \implies x = \pm\sqrt{16}$

$x_1 = 4, \qquad x_2 = -4$

Ovu jednačinu možemo prepoznati i kao razliku kvadrata: $(x-4)(x+4) = 0$ .

4. Faktorizacija

Faktorizacija je metoda kojom kvadratnu jednačinu zapisujemo kao proizvod dva linearna faktora. Osnova je sledeći stav:

$\text{Ako je } A \cdot B = 0, \text{ tada je } A = 0 \text{ ili } B = 0.$

Ovo se zove stav o nulama proizvoda i on je temelj cele metode.

4.1 Direktan proizvod linearnih faktora

Kada je jednačina već zapisana u obliku $(x - p)(x - q) = 0$ ili se lako dovede u taj oblik, rešenja se čitaju direktno.

Jednačina: $(x + 1)(x - 2) = 0$

$x + 1 = 0 \quad \text{ili} \quad x - 2 = 0$

$x_1 = -1, \qquad x_2 = 2$

Jednačina sa tri faktora: $(x - 1)(x - 2)(x + 3) = 0$

Stav o nulama proizvoda važi za bilo koji broj faktora:

$x - 1 = 0 \quad \text{ili} \quad x - 2 = 0 \quad \text{ili} \quad x + 3 = 0$

$x_1 = 1, \qquad x_2 = 2, \qquad x_3 = -3$

4.2 Izvlačenje zajedničkog činioca

Kada oba člana na jednoj strani dele isti faktor, izvučemo ga ispred zagrade, pa primenimo stav o nulama proizvoda.

Jednačina: $(x + 2)(2x - 1) = (x + 2)(x + 5)$

Prebacujemo sve na levu stranu:

$(x + 2)(2x - 1) - (x + 2)(x + 5) = 0$

Uočavamo zajednički činilac $(x + 2)$ :

$(x + 2)\,[(2x - 1) - (x + 5)] = 0$

$(x + 2)(x - 6) = 0$

$x_1 = -2, \qquad x_2 = 6$

4.3 Prepoznavanje skrivenog zajedničkog činioca

Nekad zajednički činilac nije odmah vidljiv jer se razlikuje u znaku. Ključni trik je prepoznati da je $(1 - x) = -(x - 1)$ .

Jednačina: $(x - 1)(3x + 5) - (1 - x)(2x + 5) = 0$

Primećujemo da je $(1 - x) = -(x - 1)$ , pa:

$(x - 1)(3x + 5) - (-(x - 1))(2x + 5) = 0$

$(x - 1)(3x + 5) + (x - 1)(2x + 5) = 0$

Izvlačimo $(x - 1)$ :

$(x - 1)\,[(3x + 5) + (2x + 5)] = 0$

$(x - 1)(5x + 10) = 0$

$5(x - 1)(x + 2) = 0$

$x_1 = 1, \qquad x_2 = -2$

5. Jednačine koje se svode na kvadratne

Mnoge jednačine na prvi pogled ne izgledaju kao kvadratne, ali se posle sređivanja svedu na opšti oblik $ax^2 + bx + c = 0$ .

5.1 Jednačine sa razvijanjem formula

Čest tip zadatka polazi od jednačine sa kvadriranim binomima ili razlikom kvadrata. Postupak je uvek isti: razvijemo sve strane, prenesemo sve na jednu stranu i rešimo dobijenu kvadratnu jednačinu.

Korišćene formule:

$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Jednačina: $(2b - 1)^2 = 4$

Razvijamo levu stranu:

$4b^2 - 4b + 1 = 4$

$4b^2 - 4b - 3 = 0$

$D = 16 + 48 = 64$ , odakle $b_1 = \frac{3}{2}$ , $b_2 = -\frac{1}{2}$ .

Jednačina: $(4x - 6)(4x + 6) = 13$

Prepoznajemo razliku kvadrata na levoj strani:

$(4x)^2 - 6^2 = 13 \implies 16x^2 - 36 = 13$

$16x^2 - 49 = 0 \implies x^2 = \frac{49}{16} \implies x = \pm\frac{7}{4}$

Jednačina: $(x - 5)(x - 4) = 9(4 - x)$

Razvijamo obe strane:

$x^2 - 9x + 20 = 36 - 9x$

$x^2 - 16 = 0 \implies x = \pm 4$

5.2 Jednačine sa razlomcima

Kada se $x$ pojavljuje u imeniocu, moramo:

Odrediti domen (vrednosti $x$ za koje imenilac nije nula),
Pomnožiti celu jednačinu zajedničkim imeniocem,
Rešiti dobijenu kvadratnu jednačinu,
Proveriti da rešenja zadovoljavaju domen.

Nikada ne zaboravite korak provere domena. Rešenje koje obara imenilac mora biti odbačeno, čak i ako je matematički ispravno dobijeno.

Jednačina: $x - \dfrac{x + 10}{x + 3} = 2$

Domen: $x \neq -3$

Množimo sa $(x + 3)$ :

$x(x + 3) - (x + 10) = 2(x + 3)$

$x^2 + 3x - x - 10 = 2x + 6$

$x^2 - 16 = 0 \implies x_1 = 4, \quad x_2 = -4$

Oba rešenja su $\neq -3$ , pa su oba prihvatljiva.

Jednačina: $\dfrac{x}{x-1} + \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{9}{4}$

Domen: $x \neq 1$ i $x \neq -1$

Svođenjem na zajednički imenilac $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ :

$\frac{x(x+1) + x(x-1)}{x^2 - 1} = \frac{9}{4} \implies \frac{2x^2}{x^2 - 1} = \frac{9}{4}$

Unakrsnim množenjem:

$8x^2 = 9x^2 - 9 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$

Oba rešenja zadovoljavaju uslov $x \neq \pm 1$ .

6. Vijetove formule

Vijetove formule opisuju vezu između koeficijenata kvadratne jednačine i njenih rešenja, bez potrebe da rešenja eksplicitno nalazimo.

6.1 Zbir i proizvod rešenja

Za jednačinu $ax^2 + bx + c = 0$ sa rešenjima $x_1$ i $x_2$ važi:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Dobar trik za proveru: Kada rešite jednačinu i dobijete $x_1$ i $x_2$ , brzo proverite: da li je njihov zbir jednak $-b/a$ ? Da li je njihov proizvod jednak $c/a$ ? Ako jeste, rešenja su tačna.

6.2 Računanje izraza bez rešavanja jednačine

Vijetove formule omogućavaju da izračunate složene izraze koji zavise od rešenja, a da jednačinu uopšte ne rešavate.

Ideja je sledeća: iz Vijetovih formula znamo tačno dve stvari o rešenjima: njihov zbir $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ i njihov proizvod $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ . Ništa više. Zato je cilj svaki zadati izraz algebarski preoblikovati tako da na kraju sadrži isključivo $x_1 + x_2$ i $x_1 \cdot x_2$ . Tek onda možemo da zamenimo te dve veličine brojevima koje daju Vijetove formule.

Najkorisniji identiteti su sledeći, a evo i kako se svaki od njih dobija:

Identitet 1: $\quad x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Polazimo od formule za kvadrat zbira:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$

Prenosimo $2x_1 x_2$ na levu stranu:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Identitet 2: $\quad x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)$

Polazimo od formule za kub zbira:

$(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2 x_2 + 3x_1 x_2^2 + x_2^3$

Iz srednja dva člana izvlačimo zajednički faktor $3x_1 x_2$ :

$(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2(x_1 + x_2)$

Prenosimo $3x_1 x_2(x_1 + x_2)$ na levu stranu:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)$

Identitet 3: $\quad \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$

Svodimo razlomke na zajednički imenilac $x_1 x_2$ :

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1 x_2} + \frac{x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$

Zadatak: Za jednačinu $x^2 - x - 2 = 0$ naći $x_1^2 + x_2^2$ bez rešavanja.

Koeficijenti: $a = 1$ , $b = -1$ , $c = -2$

Vijetove formule:

$x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1} = 1, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{-2}{1} = -2$

Primenjujemo identitet:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 1^2 - 2 \cdot (-2) = 1 + 4 = 5$

Zadatak: Za opštu jednačinu $ax^2 + bx + c = 0$ izraziti $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ .

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{c}$

6.3 Sastavljanje kvadratne jednačine iz poznatih rešenja

Ako znamo rešenja $x_1$ i $x_2$ , možemo krenuti unazad i rekonstruisati kvadratnu jednačinu. Evo kako:

Ako su $x_1$ i $x_2$ rešenja, onda su $(x - x_1)$ i $(x - x_2)$ linearni činioci te jednačine, pa mora da važi:

$(x - x_1)(x - x_2) = 0$

Razvijamo proizvod:

$x^2 - x_2 x - x_1 x + x_1 x_2 = 0$

Grupišemo srednja dva člana:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$

I to je formula. Dakle, da bismo sastavili jednačinu, dovoljno je izračunati zbir $x_1 + x_2$ i proizvod $x_1 \cdot x_2$ i direktno ih upisati na odgovarajuća mesta.

Sastaviti kvadratnu jednačinu čija su rešenja $x_1 = 2$ i $x_2 = 5$ .

Zbir: $x_1 + x_2 = 7$

Proizvod: $x_1 \cdot x_2 = 10$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Provera faktorizacijom: $(x - 2)(x - 5) = x^2 - 7x + 10$ ✓

Sastaviti jednačinu čija su rešenja $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ i $x_2 = 2 - \sqrt{3}$ .

Zbir: $(2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

Proizvod: $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Sastaviti jednačinu čija su rešenja $x_1 = m - 2$ i $x_2 = m + 2$ (parametarska rešenja).

Zbir: $(m - 2) + (m + 2) = 2m$

Proizvod: $(m - 2)(m + 2) = m^2 - 4$

$x^2 - 2mx + m^2 - 4 = 0$

7. Tekstualni zadaci

Tekstualni zadaci su poseban tip u kome se problem iz svakodnevnog života prevodi u matematičku jednačinu. Postupak je uvek isti:

Uvedite nepoznatu (obično brzinu, dužinu ili broj),
Zapišite vezu između poznatih i nepoznatih veličina,
Rešite kvadratnu jednačinu,
Proverite fizičku smislenost rešenja (dužina, brzina, vreme ne mogu biti negativni).

7.1 Geometrijski zadaci

Kvadratne jednačine nastaju prirodno kada se traže dimenzije figura čija je površina ili zbir kvadrata poznata.

Zadatak: Da li postoji pravougli trougao čije su dužine stranica tri uzastopna prirodna broja?

Neka su stranice $n$ , $n+1$ , $n+2$ . Hipotenuza je $n + 2$ . Pitagorina teorema daje:

$n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2$

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + 4n + 4$

$n^2 - 2n - 3 = 0$

$n_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$

$n_1 = 3, \qquad n_2 = -1$

Pošto $n$ mora biti prirodan broj, odbacujemo $n_2 = -1$ . Traženi trougao postoji i njegove stranice su 3, 4 i 5.

7.2 Zadaci o kretanju

Ovi zadaci koriste vezu $t = \dfrac{s}{v}$ (vreme = put / brzina). Kada se pojave dva tela koja prelaze isti put različitim brzinama, razlika vremena dovodi do kvadratne jednačine.

Zadatak: Vozač B prelazi 20 km/h brže od vozača A i prešao je 480 km za 2 časa manje. Kolika je brzina vozača A?

Neka je brzina vozača A jednaka $v$ . Tada vozač B vozi brzinom $v + 20$ .

$\frac{480}{v} - \frac{480}{v + 20} = 2$

Delimo sa 2 i množimo zajedničkim imeniocem $v(v + 20)$ :

$240(v + 20) - 240v = v(v + 20)$

$4800 = v^2 + 20v$

$v^2 + 20v - 4800 = 0$

$v = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 19200}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2}$

$v_1 = 60, \qquad v_2 = -80$

Brzina ne može biti negativna, pa je brzina vozača A $\mathbf{60 \text{ km/h}}$ .

U svim zadacima o kretanju, uvek na kraju proverite: da li je rešenje pozitivno? Da li fizički ima smisla? Negativna brzina, vreme ili dužina uvek se odbacuju.

Kraj lekcije

Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija

Kvadratne jednačine

Uvod

Sadržaj

1. Opšti oblik kvadratne jednačine

2. Diskriminanta i broj rešenja

3. Nepotpune kvadratne jednačine

3.1 Tip: c=0c = 0c=0 (nema slobodnog člana)

3.2 Tip: b=0b = 0b=0 (nema linearnog člana)

4. Faktorizacija

4.1 Direktan proizvod linearnih faktora

4.2 Izvlačenje zajedničkog činioca

4.3 Prepoznavanje skrivenog zajedničkog činioca

5. Jednačine koje se svode na kvadratne

5.1 Jednačine sa razvijanjem formula

5.2 Jednačine sa razlomcima

6. Vijetove formule

6.1 Zbir i proizvod rešenja

6.2 Računanje izraza bez rešavanja jednačine

6.3 Sastavljanje kvadratne jednačine iz poznatih rešenja

7. Tekstualni zadaci

7.1 Geometrijski zadaci

7.2 Zadaci o kretanju

3.1 Tip: $c = 0$ (nema slobodnog člana)

3.2 Tip: $b = 0$ (nema linearnog člana)