Jednačina: $2\sqrt{x+5} = x + 2$

Domen: $x \geq -5$. Uslov desne strane: $x + 2 \geq 0 \implies x \geq -2$.

Kombinovano: $x \geq -2$.

Kvadriramo:

$4(x+5) = (x+2)^2 \implies 4x + 20 = x^2 + 4x + 4 \implies x^2 - 16 = 0$

$x_1 = 4, \quad x_2 = -4$

Provera: $x_1 = 4 \geq -2$ ✓, $\quad x_2 = -4 < -2$ ✗

$x = 4$

Jednačina: $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = 1$

Korak 1 je određivanje domena: $x + 2 \geq 0$ i $2x - 3 \geq 0 \implies x \geq \dfrac{3}{2}$

Zatim izolujemo jedan koren (prenosimo $\sqrt{2x-3}$ na desnu stranu):

$\sqrt{x+2} = 1 + \sqrt{2x-3}$

Da bismo smeli da kvadriramo, desna strana mora biti nenegativna. Pošto je $\sqrt{2x-3} \geq 0$ na celom domenu, desna strana je $1 + \sqrt{2x-3} \geq 1 > 0$ pa je uslov uvek zadovoljen.

Kvadriramo (koristimo $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ na desnoj strani):

$x + 2 = \left(1 + \sqrt{2x-3}\right)^2 = 1 + 2\sqrt{2x-3} + (2x-3)$

$x + 2 = 2x - 2 + 2\sqrt{2x-3}$

Prenosimo sve osim korena na levu stranu:

$4 - x = 2\sqrt{2x-3}$

Postavljamo uslov pre drugog kvadriranja: leva strana $4 - x$ mora biti nenegativna:

$4 - x \geq 0 \implies x \leq 4$

Kombinovano sa domenom $x \geq \dfrac{3}{2}$, interval dozvoljenih vrednosti je $x \in \left[\dfrac{3}{2},\, 4\right]$.

Kvadriramo ponovo:

$(4-x)^2 = \left(2\sqrt{2x-3}\right)^2$

$16 - 8x + x^2 = 4(2x-3) = 8x - 12$

$x^2 - 16x + 28 = 0 \implies x_1 = 14, \quad x_2 = 2$

Provera u radnom intervalu $\left[\dfrac{3}{2},\, 4\right]$:

$x_1 = 14 \notin \left[\dfrac{3}{2},\, 4\right]$ ✗ $\quad x_2 = 2 \in \left[\dfrac{3}{2},\, 4\right]$ ✓

$x = 2$

Jednačina: $\sqrt{x^2-5} = \sqrt{x+1}$

Domen: $x^2 - 5 \geq 0$ i $x + 1 \geq 0 \implies x \in [\sqrt{5},\, +\infty)$

Kvadriramo:

$x^2 - 5 = x + 1 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -2$

Provera: $x_1 = 3 \geq \sqrt{5} \approx 2.24$ ✓, $\quad x_2 = -2 \notin [\sqrt{5},\, +\infty)$ ✗

$x = 3$

Jednačina: $\sqrt{x-5} + \sqrt{2-x} = 8$

Domen: $x \geq 5$ i $x \leq 2$ - presek je prazan skup.

$x \in \emptyset$

Jednačina: $\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-5} + 3 = 0$

Domen: $x \geq 5$.

Na celom domenu: $\sqrt{2x-1} \geq 0$ i $\sqrt{x-5} \geq 0$, pa je leva strana $\geq 3 > 0$.

$x \in \emptyset$

Nejednačina: $\sqrt{x^2+5x+5} > 1$

Identifikujemo oblik $\sqrt{A(x)} > B(x)$ gde je $A(x) = x^2+5x+5$ i $B(x) = 1$.

Pošto je $B(x) = 1 \geq 0$, primenjujemo desni slučaj:

$\begin{cases} x^2+5x+5 > 1^2 \\ 1 \geq 0 \end{cases} \implies x^2 + 5x + 4 > 0 \implies (x+4)(x+1) > 0$

$x \in (-\infty, -4) \cup (-1, +\infty)$

Nejednačina: $\sqrt{3x^2-5x-3} > \sqrt{2x+3}$

Identifikujemo oblik $\sqrt{A(x)} > \sqrt{B(x)}$ gde je $A(x) = 3x^2-5x-3$ i $B(x) = 2x+3$.

$\begin{cases} 2x + 3 \geq 0 \\ 3x^2 - 5x - 3 > 2x + 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -\dfrac{3}{2} \\[4pt] 3x^2 - 7x - 6 > 0 \end{cases}$

Nule $3x^2 - 7x - 6 = 0$: $x_1 = 3$, $x_2 = -\dfrac{2}{3}$.

Rešenje $3x^2 - 7x - 6 > 0$: $x \in \left(-\infty, -\dfrac{2}{3}\right) \cup (3, +\infty)$

Presek sa $x \geq -\dfrac{3}{2}$:

$x \in \left[-\frac{3}{2},\, -\frac{2}{3}\right) \cup (3, +\infty)$

Nejednačina: $\sqrt{x+2} < 4 - x$

Identifikujemo oblik $\sqrt{A(x)} < B(x)$ gde je $A(x) = x+2$ i $B(x) = 4-x$.

Postavljamo sistem:

$\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ 4 - x > 0 \\ x + 2 < (4-x)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -2 \\ x < 4 \\ x + 2 < 16 - 8x + x^2 \end{cases}$

Treća nejednačina: $x^2 - 9x + 14 > 0 \implies (x-2)(x-7) > 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup (7, +\infty)$

Presek sva tri uslova ($x \geq -2$, $x < 4$, $x \in (-\infty, 2) \cup (7, +\infty)$):

$x \in [-2,\, 2)$

Nejednačina: $\sqrt{2x-3} - \sqrt{x-5} < 4$

Korak 1 — domen: oba izraza pod korenom moraju biti nenegativna:

$2x - 3 \geq 0 \implies x \geq \frac{3}{2}, \qquad x - 5 \geq 0 \implies x \geq 5$

Presek ova dva uslova daje domen $x \geq 5$. Uslov $x \geq \dfrac{3}{2}$ je slabiji, pa ga $x \geq 5$ automatski pokriva.

Korak 2 — prenosimo negativni koren na desnu stranu.

Leva strana u obliku $\sqrt{A} - \sqrt{B} < 4$ nije pogodna za kvadriranje jer desna strana sadrži samo broj 4, a posle kvadriranja bi nastao koren koji otežava dalje rešavanje. Prenosimo $\sqrt{x-5}$ na desnu stranu kako bismo osigurali da desna strana bude zasigurno pozitivna pre kvadriranja:

$\sqrt{2x-3} < 4 + \sqrt{x-5}$

Na domenu $x \geq 5$ važi $\sqrt{x-5} \geq 0$, pa je desna strana $4 + \sqrt{x-5} \geq 4 > 0$. Uslov nenegativnosti je zadovoljen, kvadriramo:

$2x - 3 < \left(4 + \sqrt{x-5}\right)^2$

$2x - 3 < 16 + 8\sqrt{x-5} + (x-5)$

$2x - 3 < x + 11 + 8\sqrt{x-5}$

$x - 14 < 8\sqrt{x-5}$

$8\sqrt{x-5} > x - 14$

Korak 3 — primenjujemo oblik $\sqrt{A(x)} > B(x)$ gde je $A(x) = x - 5$ i $B(x) = x - 14$.

Razmatramo dva slučaja po znaku $B(x)$:

Slučaj 1 ($B(x) < 0$, tj. $x < 14$): $B(x)$ je negativno, a $\sqrt{A(x)}$ uvek nenegativno. Nejednačina automatski važi. Rešenje: $x \in [5,\, 14)$.

Slučaj 2 ($B(x) \geq 0$, tj. $x \geq 14$): obe strane nenegativne, kvadriramo:

$(x-14)^2 < 64(x-5)$

$x^2 - 28x + 196 < 64x - 320$

$x^2 - 92x + 516 < 0$

Nule: $x_1 = 6$, $x_2 = 86$. Rešenje: $x \in (6,\, 86)$.

Presek sa $x \geq 14$: $x \in [14,\, 86)$.

Korak 4 — unija oba slučaja:

$x \in [5,\, 14) \cup [14,\, 86) = [5,\, 86)$