1860. Iracionalne jednačine i nejednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Izraz pod korenom mora biti nenegativan:

x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5

Zatim postavljamo uslov za desnu stranu jednačine. Pošto je leva strana (koren pomnožen sa 2) uvek nenegativna, mora biti i desna strana nenegativna:

x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2

Presek uslova $x \ge -5$ i $x \ge -2$ daje konačan uslov za rešenja:

x \in [-2, +\infty)

Sada kvadriramo obe strane jednačine:

(2\sqrt{x+5})^2 = (x+2)^2

Sređujemo izraz nakon kvadriranja:

4(x+5) = x^2 + 4x + 4

Oslobađamo se zagrada i prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

4x + 20 = x^2 + 4x + 4 \\ x^2 - 16 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

x^2 = 16 \\ x_1 = 4, \quad x_2 = -4

Proveravamo dobijena rešenja u odnosu na uslov $x \ge -2 :$

\begin{aligned} &x_1 = 4 \in [-2, +\infty) \quad \text{(prihvatamo)} \\ &x_2 = -4 \notin [-2, +\infty) \quad \text{(odbacujemo)} \end{aligned}

Jedino rešenje jednačine je:

x = 4

1860.Iracionalne jednačine i nejednačine