1849.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Koji je dvocifreni broj za 1 veći od zbira kvadrata brojnih vrednosti svojih cifara, a za 5 veći od dvostrukog proizvoda brojnih vrednosti tih cifara?

REŠENJE ZADATKA

Neka je traženi dvocifreni broj oblika 10x+y, 10x + y , gde je x∈{1,2,…,9} x \in \{1, 2, \dots, 9\} cifra desetica, a y∈{0,1,…,9} y \in \{0, 1, \dots, 9\} cifra jedinica.

Prema prvom uslovu zadatka, broj je za 1 veći od zbira kvadrata svojih cifara.

10x+y=x2+y2+110x + y = x^2 + y^2 + 1

Prema drugom uslovu zadatka, broj je za 5 veći od dvostrukog proizvoda svojih cifara.

10x+y=2xy+510x + y = 2xy + 5

Dobijamo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate:

{10x+y=x2+y2+110x+y=2xy+5\begin{cases} 10x + y = x^2 + y^2 + 1 \\ 10x + y = 2xy + 5 \end{cases}

Oduzimanjem druge jednačine od prve eliminišemo izraz 10x+y 10x + y sa leve strane.

(10x+y)−(10x+y)=(x2+y2+1)−(2xy+5)(10x + y) - (10x + y) = (x^2 + y^2 + 1) - (2xy + 5)

Sređivanjem dobijamo kvadrat binoma.

0=x2−2xy+y2−4  ⟹  (x−y)2=40 = x^2 - 2xy + y^2 - 4 \implies (x - y)^2 = 4

Iz ovoga slede dva moguća slučaja za razliku cifara.

x−y=2∨x−y=−2x - y = 2 \quad \lor \quad x - y = -2

**Prvi slučaj:** Neka je x−y=2, x - y = 2 , odnosno x=y+2. x = y + 2 . Zamenićemo ovo u drugu jednačinu sistema.

10(y+2)+y=2(y+2)y+510(y + 2) + y = 2(y + 2)y + 5

Sređujemo jednačinu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po y. y .

10y+20+y=2y2+4y+5  ⟹  2y2−7y−15=010y + 20 + y = 2y^2 + 4y + 5 \implies 2y^2 - 7y - 15 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu.

y1,2=7±(−7)2−4⋅2⋅(−15)2⋅2=7±49+1204=7±134y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15)}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{4} = \frac{7 \pm 13}{4}

Dobijamo rešenja y1=5 y_1 = 5 i y2=−1.5. y_2 = -1.5 . Pošto y y mora biti cifra (ceo broj od 0 do 9), jedino validno rešenje je y=5. y = 5 . Računamo odgovarajuće x. x .

y=5  ⟹  x=5+2=7y = 5 \implies x = 5 + 2 = 7

Prvi traženi broj je 75.

10x+y=7510x + y = 75

**Drugi slučaj:** Neka je x−y=−2, x - y = -2 , odnosno x=y−2. x = y - 2 . Zamenićemo ovo u drugu jednačinu sistema.

10(y−2)+y=2(y−2)y+510(y - 2) + y = 2(y - 2)y + 5

Sređujemo jednačinu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po y. y .

10y−20+y=2y2−4y+5  ⟹  2y2−15y+25=010y - 20 + y = 2y^2 - 4y + 5 \implies 2y^2 - 15y + 25 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu.

y1,2=15±(−15)2−4⋅2⋅252⋅2=15±225−2004=15±54y_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25}}{2 \cdot 2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 200}}{4} = \frac{15 \pm 5}{4}

Dobijamo rešenja y1=5 y_1 = 5 i y2=2.5. y_2 = 2.5 . Pošto y y mora biti cifra, jedino validno rešenje je y=5. y = 5 . Računamo odgovarajuće x. x .

y=5  ⟹  x=5−2=3y = 5 \implies x = 5 - 2 = 3

Drugi traženi broj je 35.

10x+y=3510x + y = 35

Zaključujemo da postoje dva broja koja ispunjavaju uslove zadatka.

35 i 7535 \text{ i } 75

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti