1850. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Neka su $a$ i $b$ dimenzije pravougaonika. Na osnovu uslova zadatka, možemo postaviti sistem jednačina za dijagonalu i obim:

\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2 \\ 2a + 2b = 2l \end{cases}

Deljenjem druge jednačine sa 2, dobijamo izraz za zbir stranica iz kog izražavamo $b :$

a + b = l \implies b = l - a

Zamenjujemo izraz za $b$ u prvu jednačinu:

a^2 + (l - a)^2 = d^2

Kvadriramo binom i sređujemo jednačinu:

a^2 + l^2 - 2la + a^2 = d^2

Grupišemo članove kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $a :$

2a^2 - 2la + l^2 - d^2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu primenom formule za korene:

a_{1,2} = \frac{2l \pm \sqrt{(-2l)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (l^2 - d^2)}}{2 \cdot 2}

Sređujemo izraz pod korenom:

a_{1,2} = \frac{2l \pm \sqrt{4l^2 - 8l^2 + 8d^2}}{4} = \frac{2l \pm \sqrt{8d^2 - 4l^2}}{4}

Izvlačimo 4 ispred korena i skraćujemo razlomak sa 2:

a_{1,2} = \frac{2l \pm 2\sqrt{2d^2 - l^2}}{4} = \frac{l \pm \sqrt{2d^2 - l^2}}{2}

Pošto su dimenzije simetrične, jedna vrednost predstavlja dužinu, a druga širinu pravougaonika. Dimenzije poda su:

a = \frac{l + \sqrt{2d^2 - l^2}}{2}, \quad b = \frac{l - \sqrt{2d^2 - l^2}}{2}

358