1851. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Neka je $v_1$ brzina kretanja od mesta $A$ do mesta $B ,$ a $v_2$ brzina kretanja od mesta $B$ do mesta $A .$ Prema tekstu zadatka, brzina $v_1$ je za $24 \text{ km/h}$ veća od brzine $v_2 .$

v_1 = v_2 + 24

Vreme potrebno da se pređe put od $A$ do $B$ je $t_1 = \frac{s}{v_1} ,$ a vreme za povratak je $t_2 = \frac{s}{v_2} .$ Ukupno vreme putovanja je $9$ časova.

t_1 + t_2 = 9

Zamenjujemo poznate vrednosti za put $s = 315 \text{ km}$ i brzinu $v_1$ u jednačinu za vreme.

\frac{315}{v_2 + 24} + \frac{315}{v_2} = 9

Delimo celu jednačinu sa $9$ kako bismo je pojednostavili.

\frac{35}{v_2 + 24} + \frac{35}{v_2} = 1

Množimo jednačinu sa zajedničkim imeniocem $v_2(v_2 + 24)$ uz uslov da je brzina pozitivna ( $v_2 > 0$ ).

35v_2 + 35(v_2 + 24) = v_2(v_2 + 24)

Sređujemo izraz oslobađanjem od zagrada.

35v_2 + 35v_2 + 840 = v_2^2 + 24v_2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku.

v_2^2 - 46v_2 - 840 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu.

v_{2_{1,2}} = \frac{46 \pm \sqrt{(-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840)}}{2}

Računamo vrednost pod korenom.

v_{2_{1,2}} = \frac{46 \pm \sqrt{2116 + 3360}}{2} = \frac{46 \pm \sqrt{5476}}{2} = \frac{46 \pm 74}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja za $v_2 .$

v_{2_1} = 60, \quad v_{2_2} = -14

Pošto brzina mora biti pozitivna, odbacujemo negativno rešenje. Dakle, brzina od $B$ do $A$ je $60 \text{ km/h} .$ Sada računamo brzinu od $A$ do $B .$

v_1 = 60 + 24 = 84 \text{ km/h}

356