1848. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Neka su $a$ i $b$ katete, a $c$ hipotenuza pravouglog trougla. Površina pravouglog trougla je data formulom:

P = \frac{a \cdot b}{2}

Zamenom date vrednosti za površinu dobijamo:

\frac{a \cdot b}{2} = 6 \implies a \cdot b = 12

Zapremina pravouglog paralelepipeda čije su ivice $a ,$ $b$ i $c$ je:

V = a \cdot b \cdot c = 60

Kako znamo da je $a \cdot b = 12 ,$ možemo to zameniti u formulu za zapreminu kako bismo našli $c :$

12 \cdot c = 60 \implies c = 5

Za pravougli trougao važi Pitagorina teorema:

a^2 + b^2 = c^2

Zamenom vrednosti za $c$ dobijamo:

a^2 + b^2 = 5^2 = 25

Izraz $a^2 + b^2$ možemo zapisati preko kvadrata binoma kao $(a+b)^2 - 2ab :$

(a+b)^2 - 2ab = 25

Zamenom $ab = 12$ računamo zbir kateta $a+b :$

(a+b)^2 - 2 \cdot 12 = 25 \implies (a+b)^2 - 24 = 25 \implies (a+b)^2 = 49

Pošto su $a$ i $b$ dužine stranica, njihov zbir mora biti pozitivan:

a + b = 7

Sada imamo sistem jednačina:

\begin{cases} a + b = 7 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}

Iz prve jednačine izražavamo $b :$

b = 7 - a

Zamenom u drugu jednačinu dobijamo kvadratnu jednačinu po $a :$

a(7 - a) = 12 \implies 7a - a^2 = 12 \implies a^2 - 7a + 12 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

a_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}

Dobijamo dva rešenja za $a ,$ koja nam daju odgovarajuće vrednosti za $b :$

a_1 = 4 \implies b_1 = 3 \quad \text{ili} \quad a_2 = 3 \implies b_2 = 4

Stranice pravouglog trougla su:

a = 3 \text{ dm}, \; b = 4 \text{ dm}, \; c = 5 \text{ dm}

357