1615.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Postoji li pravougli trougao čije su dužine stranica tri uzastopna prirodna broja?

REŠENJE ZADATKA

Neka su dužine stranica trougla tri uzastopna prirodna broja n,n+1,n+2, n, n+1, n+2 , gde je n∈N. n \in \mathbb{N} . Najduža stranica u pravouglom trouglu mora biti hipotenuza, pa je njena dužina n+2, n+2 , dok su katete n n i n+1. n+1 .

Prema Pitagorinoj teoremi, zbir kvadrata nad katetama jednak je kvadratu nad hipotenuzom.

n2+(n+1)2=(n+2)2n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2

Kvadriramo binome na obe strane jednačine.

n2+n2+2n+1=n2+4n+4n^2 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + 4n + 4

Prebacujemo sve članove na levu stranu i sređujemo izraz kako bismo dobili kvadratnu jednačinu oblika ax2+bx+c=0. ax^2 + bx + c = 0 .

n2−2n−3=0n^2 - 2n - 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za rešavanje kvadratnih jednačina.

n1,2=−(−2)±(−2)2−4⋅1⋅(−3)2⋅1n_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu) i uprošćavamo izraz.

n1,2=2±4+122=2±162=2±42n_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}

Određujemo dva moguća rešenja za n. n .

n1=2+42=3,n2=2−42=−1n_1 = \frac{2+4}{2} = 3, \quad n_2 = \frac{2-4}{2} = -1

Pošto dužina stranice trougla mora biti prirodan broj (n∈N n \in \mathbb{N} ), rešenje n2=−1 n_2 = -1 odbacujemo. Dakle, jedino moguće rešenje je n=3. n = 3 .

n=3n = 3

Računamo dužine ostalih stranica trougla zamenom vrednosti n=3. n = 3 .

n+1=4,n+2=5n+1 = 4, \quad n+2 = 5

Zaključujemo da takav pravougli trougao postoji i da su dužine njegovih stranica 3, 4 i 5.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti