Pitagorina teorema: stranice su uzastopni brojevi

Neka su dužine stranica trougla tri uzastopna prirodna broja $n, n+1, n+2 ,$ gde je $n \in \mathbb{N} .$ Najduža stranica u pravouglom trouglu mora biti hipotenuza, pa je njena dužina $n+2 ,$ dok su katete $n$ i $n+1 .$

Prema Pitagorinoj teoremi, zbir kvadrata nad katetama jednak je kvadratu nad hipotenuzom.

n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2

Kvadriramo binome na obe strane jednačine.

n^2 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + 4n + 4

Prebacujemo sve članove na levu stranu i sređujemo izraz kako bismo dobili kvadratnu jednačinu oblika $ax^2 + bx + c = 0 .$

n^2 - 2n - 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za rešavanje kvadratnih jednačina.

n_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu) i uprošćavamo izraz.

n_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}

Određujemo dva moguća rešenja za $n .$

n_1 = \frac{2+4}{2} = 3, \quad n_2 = \frac{2-4}{2} = -1

Pošto dužina stranice trougla mora biti prirodan broj ( $n \in \mathbb{N}$ ), rešenje $n_2 = -1$ odbacujemo. Dakle, jedino moguće rešenje je $n = 3 .$

n = 3

Računamo dužine ostalih stranica trougla zamenom vrednosti $n = 3 .$

n+1 = 4, \quad n+2 = 5

Zaključujemo da takav pravougli trougao postoji i da su dužine njegovih stranica 3, 4 i 5.

Započni učenje

Privatni časovi

237

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci