1615.

237

TEKST ZADATKA

Postoji li pravougli trougao čije su dužine stranica tri uzastopna prirodna broja?

REŠENJE ZADATKA

Neka su dužine stranica trougla tri uzastopna prirodna broja n,n+1,n+2, n, n+1, n+2 , gde je n∈N. n \in \mathbb{N} . Najduža stranica u pravouglom trouglu mora biti hipotenuza, pa je njena dužina n+2, n+2 , dok su katete n n i n+1. n+1 .

Prema Pitagorinoj teoremi, zbir kvadrata nad katetama jednak je kvadratu nad hipotenuzom.

n2+(n+1)2=(n+2)2n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2

Kvadriramo binome na obe strane jednačine.

n2+n2+2n+1=n2+4n+4n^2 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + 4n + 4

Prebacujemo sve članove na levu stranu i sređujemo izraz kako bismo dobili kvadratnu jednačinu oblika ax2+bx+c=0. ax^2 + bx + c = 0 .

n2−2n−3=0n^2 - 2n - 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za rešavanje kvadratnih jednačina.

n1,2=−(−2)±(−2)2−4⋅1⋅(−3)2⋅1n_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu) i uprošćavamo izraz.

n1,2=2±4+122=2±162=2±42n_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}

Određujemo dva moguća rešenja za n. n .

n1=2+42=3,n2=2−42=−1n_1 = \frac{2+4}{2} = 3, \quad n_2 = \frac{2-4}{2} = -1

Pošto dužina stranice trougla mora biti prirodan broj (n∈N n \in \mathbb{N} ), rešenje n2=−1 n_2 = -1 odbacujemo. Dakle, jedino moguće rešenje je n=3. n = 3 .

n=3n = 3

Računamo dužine ostalih stranica trougla zamenom vrednosti n=3. n = 3 .

n+1=4,n+2=5n+1 = 4, \quad n+2 = 5

Zaključujemo da takav pravougli trougao postoji i da su dužine njegovih stranica 3, 4 i 5.