1614. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Neka je brzina vozača A označena sa $v .$ Tada je brzina vozača B veća za $20 \text{ km/h} .$

v_A = v, \quad v_B = v + 20

Vreme potrebno da se pređe put od $s = 480 \text{ km}$ računa se po formuli $t = \frac{s}{v} .$

t_A = \frac{480}{v}, \quad t_B = \frac{480}{v + 20}

Kako je vozač B prešao put za $2$ časa pre nego vozač A, razlika njihovih vremena je $2$ časa.

t_A - t_B = 2 \implies \frac{480}{v} - \frac{480}{v + 20} = 2

Podelimo jednačinu sa $2$ kako bismo je pojednostavili.

\frac{240}{v} - \frac{240}{v + 20} = 1

Pomnožimo jednačinu sa zajedničkim imeniocem $v(v + 20) ,$ uz uslov da je brzina $v > 0 .$

240(v + 20) - 240v = v(v + 20)

Sredimo dobijeni izraz kako bismo dobili kvadratnu jednačinu.

240v + 4800 - 240v = v^2 + 20v \implies v^2 + 20v - 4800 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu primenom formule za rešavanje kvadratnih jednačina.

v = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu).

v = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 19200}}{2} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2}

Koren iz $19600$ je $140 .$ Dobijamo dva rešenja.

v = \frac{-20 \pm 140}{2}

Računamo oba rešenja kvadratne jednačine.

v_1 = \frac{-20 + 140}{2} = 60, \quad v_2 = \frac{-20 - 140}{2} = -80

Pošto brzina mora biti pozitivan broj, odbacujemo negativno rešenje. Brzina vozača A je $60 \text{ km/h} .$

v_A = 60 \text{ km/h}

234