1613. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Neka je $v$ početna brzina tačke $M ,$ a $t$ vreme potrebno da obiđe kružnicu. Obim kružnice predstavlja pređeni put $s = 1000 \text{ m} .$ Veza između puta, brzine i vremena pri ravnomernom kretanju je:

v \cdot t = 1000 \implies t = \frac{1000}{v}

Ako se brzina smanji za $5 \text{ m/s} ,$ nova brzina je $v - 5 .$ Vreme se tada poveća za $10 \text{ s} ,$ pa je novo vreme $t + 10 .$ Pređeni put ostaje isti:

(v - 5)(t + 10) = 1000

Zamenjujemo izraz za vreme $t$ u drugu jednačinu:

(v - 5)\left(\frac{1000}{v} + 10\right) = 1000

Množenjem zagrada dobijamo:

1000 + 10v - \frac{5000}{v} - 50 = 1000

Sređujemo jednačinu oduzimanjem $1000$ sa obe strane i deljenjem sa $10 :$

10v - \frac{5000}{v} - 50 = 0 \implies v - \frac{500}{v} - 5 = 0

Množimo celu jednačinu sa $v$ (uz uslov $v > 0$ jer brzina mora biti pozitivna) kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

v^2 - 5v - 500 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu oblika $ax^2 + bx + c = 0$ koristeći formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

v_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

v_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 2000}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{2025}}{2}

Koren iz $2025$ je $45 ,$ pa dobijamo dva rešenja:

v_{1,2} = \frac{5 \pm 45}{2}

Računamo svako rešenje posebno:

v_1 = \frac{5 + 45}{2} = 25, \quad v_2 = \frac{5 - 45}{2} = -20

Pošto brzina mora biti pozitivna veličina, odbacujemo negativno rešenje. Zaključujemo da je početna brzina tačke $M :$

v = 25 \text{ m/s}

236