1612. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Neka je $v_1$ brzina brzog voza, a $v_2$ brzina putničkog voza. Iz teksta zadatka znamo da je razlika u brzinama $21 \text{ km/h} ,$ pa važi:

v_1 = v_2 + 21

Vreme putovanja putničkog voza je $t_2 ,$ a brzog $t_1 .$ Razlika u vremenu je $2$ sata i $20$ minuta, što moramo pretvoriti u sate:

\Delta t = 2 + \frac{20}{60} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \text{ h}

Znamo da je vreme jednako pređenom putu podeljenom sa brzinom, odnosno $t = \frac{s}{v} .$ Postavljamo jednačinu za razliku u vremenu:

\frac{s}{v_2} - \frac{s}{v_1} = \frac{7}{3}

Zamenjujemo poznate vrednosti za put $s = 588 \text{ km}$ i brzinu brzog voza $v_1 = v_2 + 21 :$

\frac{588}{v_2} - \frac{588}{v_2 + 21} = \frac{7}{3}

Delimo celu jednačinu sa $7$ kako bismo pojednostavili račun:

\frac{84}{v_2} - \frac{84}{v_2 + 21} = \frac{1}{3}

Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem $3v_2(v_2 + 21)$ uz uslov da je brzina pozitivna ( $v_2 > 0$ ):

3 \cdot 84 \cdot (v_2 + 21) - 3 \cdot 84 \cdot v_2 = v_2(v_2 + 21)

Sređujemo dobijenu jednačinu:

252v_2 + 5292 - 252v_2 = v_2^2 + 21v_2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i dobijamo kvadratnu jednačinu po $v_2 :$

v_2^2 + 21v_2 - 5292 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} :$

v_2 = \frac{-21 \pm \sqrt{21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5292)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

v_2 = \frac{-21 \pm \sqrt{441 + 21168}}{2} = \frac{-21 \pm \sqrt{21609}}{2}

Koren iz $21609$ je $147 ,$ pa dobijamo dva rešenja:

v_2 = \frac{-21 \pm 147}{2}

Računamo prvo rešenje:

v_{2,1} = \frac{-21 + 147}{2} = \frac{126}{2} = 63

Računamo drugo rešenje:

v_{2,2} = \frac{-21 - 147}{2} = \frac{-168}{2} = -84

Brzina ne može biti negativna, pa odbacujemo rešenje $v_{2,2} = -84 .$ Brzina putničkog voza je dakle $63 \text{ km/h} .$ Sada računamo brzinu brzog voza:

v_1 = 63 + 21 = 84 \text{ km/h}

235