1603. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Neka je $v_1$ brzina prvog voza, a $v_2$ brzina drugog voza. Prema tekstu zadatka, brzina prvog voza je za $5 \text{ km/h}$ veća od brzine drugog voza:

v_1 = v_2 + 5

Vreme potrebno prvom vozu da pređe polovinu puta ( $150 \text{ km}$ ) je $t_1 = \frac{150}{v_1} ,$ a vreme potrebno drugom vozu da pređe ceo put ( $300 \text{ km}$ ) je $t_2 = \frac{300}{v_2} .$ Prema uslovu zadatka, prvom vozu je potrebno $7$ časova manje za taj deo puta:

\frac{150}{v_1} = \frac{300}{v_2} - 7

Zamenjujemo $v_1$ sa $v_2 + 5$ u jednačinu:

\frac{150}{v_2 + 5} = \frac{300}{v_2} - 7

Množimo celu jednačinu sa $v_2(v_2 + 5)$ kako bismo se oslobodili razlomaka (uz uslov $v_2 > 0$ ):

150v_2 = 300(v_2 + 5) - 7v_2(v_2 + 5)

Sređujemo jednačinu množenjem članova:

150v_2 = 300v_2 + 1500 - 7v_2^2 - 35v_2

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku:

7v_2^2 + 150v_2 - 300v_2 + 35v_2 - 1500 = 0

Grupišemo slične članove:

7v_2^2 - 115v_2 - 1500 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu $v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} :$

v_2 = \frac{-(-115) \pm \sqrt{(-115)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1500)}}{2 \cdot 7}

Računamo vrednost diskriminante:

v_2 = \frac{115 \pm \sqrt{13225 + 42000}}{14} = \frac{115 \pm \sqrt{55225}}{14}

Koren iz $55225$ je $235 ,$ pa dobijamo dva rešenja:

v_2 = \frac{115 \pm 235}{14}

Računamo oba rešenja:

v_{2}^{(1)} = \frac{350}{14} = 25, \quad v_{2}^{(2)} = \frac{-120}{14} = -\frac{60}{7}

Pošto brzina mora biti pozitivna, odbacujemo negativno rešenje. Dakle, brzina drugog voza je:

v_2 = 25 \text{ km/h}

Sada računamo brzinu prvog voza:

v_1 = 25 + 5 = 30 \text{ km/h}

Vreme kretanja do susreta računamo tako što ukupan put podelimo sa zbirom brzina oba voza (relativna brzina približavanja):

t = \frac{s}{v_1 + v_2}

Zamenjujemo poznate vrednosti i računamo vreme kretanja:

t = \frac{300}{30 + 25} = \frac{300}{55} = \frac{60}{11} \text{ h}

233