1494.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U jednačinama: x2−(k+2)x+6=0 x^2 - (k + 2)x + 6 = 0 i x2−(2k+1)x+10=0 x^2 - (2k + 1)x + 10 = 0 ; odrediti parametar k k tako da jednačine imaju zajedničko rešenje.

Zaključak: postoje dve vrednosti parametra k k za koje jednačine imaju zajedničko rešenje.

k1=5⇒x0=1,k2=3⇒x0=2k_1 = 5 \Rightarrow x_0 = 1, \qquad k_2 = 3 \Rightarrow x_0 = 2
REŠENJE ZADATKA

Neka je x0 x_0 zajedničko rešenje obe jednačine. To znači da x0 x_0 zadovoljava obe jednačine, pa možemo formirati sistem:

{x02−(k+2)x0+6=0x02−(2k+1)x0+10=0\begin{cases} x_0^2 - (k + 2)x_0 + 6 = 0 \\ x_0^2 - (2k + 1)x_0 + 10 = 0 \end{cases}

Oduzimamo prvu jednačinu od druge kako bismo eliminisali kvadratni član x02. x_0^2 .

(x02−(2k+1)x0+10)−(x02−(k+2)x0+6)=0(x_0^2 - (2k + 1)x_0 + 10) - (x_0^2 - (k + 2)x_0 + 6) = 0

Sređujemo dobijeni izraz oslobađanjem od zagrada i grupisanjem odgovarajućih članova.

−2kx0−x0+10+kx0+2x0−6=0  ⟹  −kx0+x0+4=0-2kx_0 - x_0 + 10 + kx_0 + 2x_0 - 6 = 0 \implies -kx_0 + x_0 + 4 = 0

Izražavamo zajedničko rešenje x0 x_0 u zavisnosti od parametra k. k .

x0(1−k)=−4  ⟹  x0=4k−1x_0(1 - k) = -4 \implies x_0 = \frac{4}{k - 1}

Pod pretpostavkom da je k≠1 k \neq 1 (jer za k=1 k = 1 dobijamo netačnu jednakost 0=−4 0 = -4 ), zamenjujemo dobijeni izraz za x0 x_0 u prvu kvadratnu jednačinu.

(4k−1)2−(k+2)(4k−1)+6=0\left(\frac{4}{k - 1}\right)^2 - (k + 2)\left(\frac{4}{k - 1}\right) + 6 = 0

Množimo celu jednačinu sa (k−1)2 (k - 1)^2 kako bismo eliminisali razlomke u izrazu.

16−4(k+2)(k−1)+6(k−1)2=016 - 4(k + 2)(k - 1) + 6(k - 1)^2 = 0

Kvadriramo, množimo odgovarajuće polinome i oslobađamo se zagrada.

16−4(k2+k−2)+6(k2−2k+1)=0  ⟹  16−4k2−4k+8+6k2−12k+6=016 - 4(k^2 + k - 2) + 6(k^2 - 2k + 1) = 0 \implies 16 - 4k^2 - 4k + 8 + 6k^2 - 12k + 6 = 0

Sabiranjem sličnih članova, jednačinu svodimo na opšti oblik kvadratne jednačine po promenljivoj k. k . Radi jednostavnosti, delimo celu jednačinu sa 2. 2 .

2k2−16k+30=0  ⟹  k2−8k+15=02k^2 - 16k + 30 = 0 \implies k^2 - 8k + 15 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu primenom standardne formule za pronalaženje korena.

k1,2=−b±b2−4ac2ak_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo koeficijente u formulu.

k1,2=−(−8)±(−8)2−4⋅1⋅152⋅1k_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost diskriminante i dobijamo vrednosti korena.

k1,2=8±64−602=8±42=8±22k_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}

Konačna rešenja za parametar k k su:

k1=102=5ik2=62=3k_1 = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{i} \quad k_2 = \frac{6}{2} = 3

Za k1=5 k_1 = 5 nalazimo zajedničko rešenje x0 x_0 koristeći formulu iz koraka 4:

x0=45−1=44=1x_0 = \frac{4}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1

Proveravamo da li x0=1 x_0 = 1 jeste rešenje prve jednačine za k1=5: k_1 = 5 :

(1)2−(5+2)(1)+6=1−7+6=0(1)^2 - (5 + 2)(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0

Proveravamo da li x0=1 x_0 = 1 jeste rešenje druge jednačine za k1=5: k_1 = 5 :

(1)2−(2⋅5+1)(1)+10=1−11+10=0(1)^2 - (2 \cdot 5 + 1)(1) + 10 = 1 - 11 + 10 = 0

Za k2=3 k_2 = 3 nalazimo zajedničko rešenje x0 x_0 koristeći formulu iz koraka 4:

x0=43−1=42=2x_0 = \frac{4}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2

Proveravamo da li x0=2 x_0 = 2 jeste rešenje prve jednačine za k2=3: k_2 = 3 :

(2)2−(3+2)(2)+6=4−10+6=0(2)^2 - (3 + 2)(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0

Proveravamo da li x0=2 x_0 = 2 jeste rešenje druge jednačine za k2=3: k_2 = 3 :

(2)2−(2⋅3+1)(2)+10=4−14+10=0(2)^2 - (2 \cdot 3 + 1)(2) + 10 = 4 - 14 + 10 = 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti