Parametar k za zajedničko rešenje dve jednačine

Neka je $x_0$ zajedničko rešenje obe jednačine. To znači da $x_0$ zadovoljava obe jednačine, pa možemo formirati sistem:

\begin{cases} x_0^2 - (k + 2)x_0 + 6 = 0 \\ x_0^2 - (2k + 1)x_0 + 10 = 0 \end{cases}

Oduzimamo prvu jednačinu od druge kako bismo eliminisali kvadratni član $x_0^2 .$

(x_0^2 - (2k + 1)x_0 + 10) - (x_0^2 - (k + 2)x_0 + 6) = 0

Sređujemo dobijeni izraz oslobađanjem od zagrada i grupisanjem odgovarajućih članova.

-2kx_0 - x_0 + 10 + kx_0 + 2x_0 - 6 = 0 \implies -kx_0 + x_0 + 4 = 0

Izražavamo zajedničko rešenje $x_0$ u zavisnosti od parametra $k .$

x_0(1 - k) = -4 \implies x_0 = \frac{4}{k - 1}

Pod pretpostavkom da je $k \neq 1$ (jer za $k = 1$ dobijamo netačnu jednakost $0 = -4$ ), zamenjujemo dobijeni izraz za $x_0$ u prvu kvadratnu jednačinu.

\left(\frac{4}{k - 1}\right)^2 - (k + 2)\left(\frac{4}{k - 1}\right) + 6 = 0

Množimo celu jednačinu sa $(k - 1)^2$ kako bismo eliminisali razlomke u izrazu.

16 - 4(k + 2)(k - 1) + 6(k - 1)^2 = 0

Kvadriramo, množimo odgovarajuće polinome i oslobađamo se zagrada.

16 - 4(k^2 + k - 2) + 6(k^2 - 2k + 1) = 0 \implies 16 - 4k^2 - 4k + 8 + 6k^2 - 12k + 6 = 0

Sabiranjem sličnih članova, jednačinu svodimo na opšti oblik kvadratne jednačine po promenljivoj $k .$ Radi jednostavnosti, delimo celu jednačinu sa $2 .$

2k^2 - 16k + 30 = 0 \implies k^2 - 8k + 15 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu primenom standardne formule za pronalaženje korena.

k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo koeficijente u formulu.

k_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost diskriminante i dobijamo vrednosti korena.

k_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}

Konačna rešenja za parametar $k$ su:

k_1 = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{i} \quad k_2 = \frac{6}{2} = 3

Za $k_1 = 5$ nalazimo zajedničko rešenje $x_0$ koristeći formulu iz koraka 4:

x_0 = \frac{4}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1

Proveravamo da li $x_0 = 1$ jeste rešenje prve jednačine za $k_1 = 5 :$

(1)^2 - (5 + 2)(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0

Proveravamo da li $x_0 = 1$ jeste rešenje druge jednačine za $k_1 = 5 :$

(1)^2 - (2 \cdot 5 + 1)(1) + 10 = 1 - 11 + 10 = 0

Za $k_2 = 3$ nalazimo zajedničko rešenje $x_0$ koristeći formulu iz koraka 4:

x_0 = \frac{4}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2

Proveravamo da li $x_0 = 2$ jeste rešenje prve jednačine za $k_2 = 3 :$

(2)^2 - (3 + 2)(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0

Proveravamo da li $x_0 = 2$ jeste rešenje druge jednačine za $k_2 = 3 :$

(2)^2 - (2 \cdot 3 + 1)(2) + 10 = 4 - 14 + 10 = 0

Započni učenje

Privatni časovi

196.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci