1508.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U jednačini 4x2+(m+1)x+m+1=0 4x^2 + (m + 1)x + m + 1 = 0 odrediti vrednost realnog parametra m m ako je koeficijent uz x x geometrijska sredina koeficijenta uz x2 x^2 i slobodnog člana.

4x2+(m+1)x+m+1=04x^2 + (m + 1)x + m + 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo identifikujemo koeficijente date kvadratne jednačine oblika ax2+bx+c=0. ax^2 + bx + c = 0 .

a=4,b=m+1,c=m+1a = 4, \quad b = m + 1, \quad c = m + 1

Prema tekstu zadatka, koeficijent uz x x (koeficijent b b ) je geometrijska sredina koeficijenta uz x2 x^2 (a a ) i slobodnog člana (c c ). Računamo na osnovu definicije geometrijske sredine:

b=a⋅cb = \sqrt{a \cdot c}

Da bi geometrijska sredina bila definisana i realna, moraju važiti uslovi za nenegativnost:

a⋅c≥0ib≥0a \cdot c \ge 0 \quad \text{i} \quad b \ge 0

Zamenjujemo vrednosti koeficijenata u postavljeni uslov za geometrijsku sredinu:

m+1=4⋅(m+1)m + 1 = \sqrt{4 \cdot (m + 1)}

Da bismo rešili jednačinu, kvadriramo obe strane. Pritom beležimo uslov m+1≥0, m + 1 \ge 0 , odnosno m≥−1. m \ge -1 .

(m+1)2=4(m+1)(m + 1)^2 = 4(m + 1)

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo faktorisali izraz:

(m+1)2−4(m+1)=0(m + 1)^2 - 4(m + 1) = 0

Izvlačimo zajednički činilac m+1 m + 1 ispred zagrade:

(m+1)(m+1−4)=0(m + 1)(m + 1 - 4) = 0

Sređujemo izraz u drugoj zagradi:

(m+1)(m−3)=0(m + 1)(m - 3) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Rešavamo dobijene linearne jednačine:

m+1=0ilim−3=0m + 1 = 0 \quad \text{ili} \quad m - 3 = 0

Dobijamo dva potencijalna rešenja za parametar m: m :

m1=−1im2=3m_1 = -1 \quad \text{i} \quad m_2 = 3

Proveravamo početni uslov m≥−1. m \ge -1 . Pošto oba rešenja zadovoljavaju ovaj uslov, konačna rešenja su:

m∈{−1,3}m \in \{-1, 3\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti