Kvadratna jednačina s parametrima: rešenja 1 i n/m

Da bi jednačina bila kvadratna, koeficijent uz $x^2$ mora biti različit od nule. Prvo rešavamo slučaj kada je $m \neq 0 .$

Zapisujemo koeficijente date kvadratne jednačine:

a = m, \quad b = -(m+n), \quad c = n

Računamo diskriminantu koristeći formulu $D = b^2 - 4ac :$

D = (-(m+n))^2 - 4 \cdot m \cdot n

Kvadriramo izraz i sređujemo:

D = m^2 + 2mn + n^2 - 4mn = m^2 - 2mn + n^2

Prepoznajemo kvadrat binoma:

D = (m-n)^2

Pošto je $D \ge 0$ za svako $m, n \in \mathbb{R} ,$ jednačina uvek ima realna rešenja. Koristimo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Zamenjujemo dobijene vrednosti, pri čemu je $\sqrt{(m-n)^2} = |m-n| :$

x_{1,2} = \frac{m+n \pm \sqrt{(m-n)^2}}{2m} = \frac{m+n \pm |m-n|}{2m}

Definišemo apsolutnu vrednost izraza $m-n :$

|m-n| = \begin{cases} m-n, & \text{za } m-n \ge 0 \\ -(m-n), & \text{za } m-n < 0 \end{cases}

Zbog znaka $\pm$ u formuli, oba slučaja apsolutne vrednosti daju isti skup rešenja (dodavanje pozitivne i negativne vrednosti istog izraza pokriva obe mogućnosti), pa možemo pisati:

x_{1,2} = \frac{m+n \pm (m-n)}{2m}

Računamo prvo rešenje (uzimajući znak plus):

x_1 = \frac{m+n + (m-n)}{2m} = \frac{2m}{2m} = 1

Računamo drugo rešenje (uzimajući znak minus):

x_2 = \frac{m+n - (m-n)}{2m} = \frac{m+n - m + n}{2m} = \frac{2n}{2m} = \frac{n}{m}

Započni učenje

Privatni časovi

199.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci