1539.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Rešiti kvadratne jednačine, gde su m, m , n, n , a, a , b b realni parametri (zadaci 199-204):

mx2−(m+n)x+n=0mx^2 - (m + n)x + n = 0
REŠENJE ZADATKA

Da bi jednačina bila kvadratna, koeficijent uz x2 x^2 mora biti različit od nule. Prvo rešavamo slučaj kada je m≠0. m \neq 0 .

Zapisujemo koeficijente date kvadratne jednačine:

a=m,b=−(m+n),c=na = m, \quad b = -(m+n), \quad c = n

Računamo diskriminantu koristeći formulu D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=(−(m+n))2−4⋅m⋅nD = (-(m+n))^2 - 4 \cdot m \cdot n

Kvadriramo izraz i sređujemo:

D=m2+2mn+n2−4mn=m2−2mn+n2D = m^2 + 2mn + n^2 - 4mn = m^2 - 2mn + n^2

Prepoznajemo kvadrat binoma:

D=(m−n)2D = (m-n)^2

Pošto je D≥0 D \ge 0 za svako m,n∈R, m, n \in \mathbb{R} , jednačina uvek ima realna rešenja. Koristimo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x1,2=−b±D2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Zamenjujemo dobijene vrednosti, pri čemu je (m−n)2=∣m−n∣: \sqrt{(m-n)^2} = |m-n| :

x1,2=m+n±(m−n)22m=m+n±∣m−n∣2mx_{1,2} = \frac{m+n \pm \sqrt{(m-n)^2}}{2m} = \frac{m+n \pm |m-n|}{2m}

Definišemo apsolutnu vrednost izraza m−n: m-n :

∣m−n∣={m−n,za m−n≥0−(m−n),za m−n<0|m-n| = \begin{cases} m-n, & \text{za } m-n \ge 0 \\ -(m-n), & \text{za } m-n < 0 \end{cases}

Zbog znaka ± \pm u formuli, oba slučaja apsolutne vrednosti daju isti skup rešenja (dodavanje pozitivne i negativne vrednosti istog izraza pokriva obe mogućnosti), pa možemo pisati:

x1,2=m+n±(m−n)2mx_{1,2} = \frac{m+n \pm (m-n)}{2m}

Računamo prvo rešenje (uzimajući znak plus):

x1=m+n+(m−n)2m=2m2m=1x_1 = \frac{m+n + (m-n)}{2m} = \frac{2m}{2m} = 1

Računamo drugo rešenje (uzimajući znak minus):

x2=m+n−(m−n)2m=m+n−m+n2m=2n2m=nmx_2 = \frac{m+n - (m-n)}{2m} = \frac{m+n - m + n}{2m} = \frac{2n}{2m} = \frac{n}{m}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti