Kvadratna jednačina s parametrom a: kompleksna rešenja

Određujemo koeficijente date kvadratne jednačine oblika $Ax^2 + Bx + C = 0 :$

A = 4, \quad B = -4a, \quad C = a^2 + 1

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine po formuli $D = B^2 - 4AC :$

D = (-4a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (a^2 + 1)

Kvadriramo i množimo članove kako bismo sredili izraz za diskriminantu:

D = 16a^2 - 16(a^2 + 1) = 16a^2 - 16a^2 - 16 = -16

Pošto je diskriminanta negativna ( $D = -16 < 0$ ) i ne zavisi od parametra $a ,$ zaključujemo da jednačina za svako realno $a$ ima jedan par konjugovano kompleksnih rešenja.

Koristimo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}

Zamenjujemo poznate vrednosti koeficijenata i diskriminante u formulu:

x_{1,2} = \frac{-(-4a) \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 4}

Znamo da je koren iz negativnog broja kompleksan broj, pa važi $\sqrt{-16} = 4i .$ Sređujemo izraz za rešenja:

x_{1,2} = \frac{4a \pm 4i}{8}

Izvlačimo zajednički činilac $4$ ispred zagrade u brojiocu i skraćujemo razlomak sa $4 :$

x_{1,2} = \frac{4(a \pm i)}{8} = \frac{a \pm i}{2}

Konačna rešenja date kvadratne jednačine su:

x_1 = \frac{a + i}{2}, \quad x_2 = \frac{a - i}{2}

Započni učenje

Privatni časovi

199.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci