1541.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Rešiti kvadratne jednačine, gde su m, m , n, n , a, a , b b realni parametri (zadaci 199-204): (a2−b2)x2+2ax+1=0; (a^2 - b^2)x^2 + 2ax + 1 = 0;

REŠENJE ZADATKA

Jednačina je kvadratna kada je vodeći koeficijent različit od nule, tj. kada je a2−b2≠0, a^2 - b^2 \neq 0 , što je ekvivalentno sa a≠b a \neq b i a≠−b. a \neq -b . Pod tom pretpostavkom rešavamo jednačinu.

Računamo diskriminantu po formuli D=B2−4AC, D = B^2 - 4AC , gde su koeficijenti A=a2−b2, A = a^2 - b^2 , B=2a, B = 2a , C=1: C = 1 :

D=(2a)2−4(a2−b2)⋅1D = (2a)^2 - 4(a^2 - b^2) \cdot 1

Razvijamo i sređujemo — članovi sa a2 a^2 se poništavaju:

D=4a2−4a2+4b2=4b2D = 4a^2 - 4a^2 + 4b^2 = 4b^2

Pošto je D=4b2≥0 D = 4b^2 \geq 0 za svako realno b, b , jednačina uvek ima realna rešenja. Uvrštavamo u formulu x1,2=−B±D2A: x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} :

x1,2=−2a±4b22(a2−b2)x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{4b^2}}{2(a^2 - b^2)}

Važi 4b2=2∣b∣. \sqrt{4b^2} = 2|b| . Pošto u formuli već stoji ±, \pm , uzimanje oba znaka pokrije i +2∣b∣ +2|b| i −2∣b∣, -2|b| , što je isto kao ±2b. \pm 2b . Imenilac faktorizujemo kao razliku kvadrata:

x1,2=−2a±2b2(a−b)(a+b)=−a±b(a−b)(a+b)x_{1,2} = \frac{-2a \pm 2b}{2(a-b)(a+b)} = \frac{-a \pm b}{(a-b)(a+b)}

Računamo x1 x_1 uzimajući znak +. + . Brojioc −a+b=−(a−b), -a + b = -(a-b) , pa se faktor (a−b) (a-b) kraći (što je dozvoljeno jer je a≠b a \neq b ):

x1=−a+b(a−b)(a+b)=−(a−b)(a−b)(a+b)=−1a+bx_1 = \frac{-a + b}{(a-b)(a+b)} = \frac{-(a-b)}{(a-b)(a+b)} = -\frac{1}{a+b}

Računamo x2 x_2 uzimajući znak −. - . Brojioc −a−b=−(a+b), -a - b = -(a+b) , pa se faktor (a+b) (a+b) kraći (što je dozvoljeno jer je a≠−b a \neq -b ):

x2=−a−b(a−b)(a+b)=−(a+b)(a−b)(a+b)=−1a−bx_2 = \frac{-a - b}{(a-b)(a+b)} = \frac{-(a+b)}{(a-b)(a+b)} = -\frac{1}{a-b}

Rešenja kvadratne jednačine su:

x1=−1a+b,x2=−1a−b,(a≠b,  a≠−b)x_1 = -\frac{1}{a+b}, \quad x_2 = -\frac{1}{a-b}, \quad (a \neq b, \; a \neq -b)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti