Kvadratna jednačina s parametrima: x = -1/(a ± b)

Jednačina je kvadratna kada je vodeći koeficijent različit od nule, tj. kada je $a^2 - b^2 \neq 0 ,$ što je ekvivalentno sa $a \neq b$ i $a \neq -b .$ Pod tom pretpostavkom rešavamo jednačinu.

Računamo diskriminantu po formuli $D = B^2 - 4AC ,$ gde su koeficijenti $A = a^2 - b^2 ,$ $B = 2a ,$ $C = 1 :$

D = (2a)^2 - 4(a^2 - b^2) \cdot 1

Razvijamo i sređujemo — članovi sa $a^2$ se poništavaju:

D = 4a^2 - 4a^2 + 4b^2 = 4b^2

Pošto je $D = 4b^2 \geq 0$ za svako realno $b ,$ jednačina uvek ima realna rešenja. Uvrštavamo u formulu $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} :$

x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{4b^2}}{2(a^2 - b^2)}

Važi $\sqrt{4b^2} = 2|b| .$ Pošto u formuli već stoji $\pm ,$ uzimanje oba znaka pokrije i $+2|b|$ i $-2|b| ,$ što je isto kao $\pm 2b .$ Imenilac faktorizujemo kao razliku kvadrata:

x_{1,2} = \frac{-2a \pm 2b}{2(a-b)(a+b)} = \frac{-a \pm b}{(a-b)(a+b)}

Računamo $x_1$ uzimajući znak $+ .$ Brojioc $-a + b = -(a-b) ,$ pa se faktor $(a-b)$ kraći (što je dozvoljeno jer je $a \neq b$ ):

x_1 = \frac{-a + b}{(a-b)(a+b)} = \frac{-(a-b)}{(a-b)(a+b)} = -\frac{1}{a+b}

Računamo $x_2$ uzimajući znak $- .$ Brojioc $-a - b = -(a+b) ,$ pa se faktor $(a+b)$ kraći (što je dozvoljeno jer je $a \neq -b$ ):

x_2 = \frac{-a - b}{(a-b)(a+b)} = \frac{-(a+b)}{(a-b)(a+b)} = -\frac{1}{a-b}

Rešenja kvadratne jednačine su:

x_1 = -\frac{1}{a+b}, \quad x_2 = -\frac{1}{a-b}, \quad (a \neq b, \; a \neq -b)

Započni učenje

Privatni časovi

199.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci