2963. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Koristimo formulu za površinu trougla preko dve stranice i ugla između njih kako bismo odredili proizvod stranica $a$ i $c .$

P = \frac{ac \sin \beta}{2}

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu za površinu.

7 = \frac{ac \sin 30^\circ}{2}

Pošto je $\sin 30^\circ = \frac{1}{2} ,$ računamo proizvod $ac .$

7 = \frac{ac \cdot \frac{1}{2}}{2} \implies 7 = \frac{ac}{4} \implies ac = 28

Sada imamo sistem jednačina sa nepoznatima $a$ i $c .$

\begin{cases} a + c = 11 \\ ac = 28 \end{cases}

Izražavamo $c$ iz prve jednačine i menjamo u drugu.

c = 11 - a \implies a(11 - a) = 28

Sređujemo jednačinu i dobijamo kvadratnu jednačinu po $a .$

11a - a^2 = 28 \implies a^2 - 11a + 28 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu.

a_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2} = \frac{11 \pm 3}{2}

Dobijamo dva moguća rešenja za stranicu $a .$

a_1 = 7, \quad a_2 = 4

Na osnovu veze $c = 11 - a ,$ računamo odgovarajuće vrednosti za stranicu $c .$

c_1 = 4, \quad c_2 = 7

U oba slučaja, dužine stranica $a$ i $c$ su 4 i 7. Sada koristimo kosinusnu teoremu da bismo izračunali stranicu $b .$

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta

Zamenjujemo poznate vrednosti u kosinusnu teoremu.

b^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos 30^\circ

Pošto je $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ,$ računamo vrednost za $b^2 .$

b^2 = 16 + 49 - 56 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 65 - 28\sqrt{3}

Konačno, nalazimo dužinu stranice $b .$

b = \sqrt{65 - 28\sqrt{3}}

Dužine stranica trougla su određene i postoje dva moguća rasporeda za stranice $a$ i $c .$

(a, b, c) = (7, \sqrt{65 - 28\sqrt{3}}, 4) \quad \text{ili} \quad (a, b, c) = (4, \sqrt{65 - 28\sqrt{3}}, 7)

1002