2965. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Iz date proporcije $a : b = \sqrt{7} : 3$ možemo izraziti stranice $a$ i $b$ preko konstante proporcionalnosti $k .$

a = \sqrt{7}k, \quad b = 3k, \quad k > 0

Primenjujemo kosinusnu teoremu za stranicu $a .$

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu.

(\sqrt{7}k)^2 = (3k)^2 + 2^2 - 2 \cdot 3k \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ

Sređujemo jednačinu koristeći da je $\cos 60^\circ = \frac{1}{2} .$

7k^2 = 9k^2 + 4 - 12k \cdot \frac{1}{2}

Daljim sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu po $k .$

7k^2 = 9k^2 + 4 - 6k \implies 2k^2 - 6k + 4 = 0 \implies k^2 - 3k + 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu.

k_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}

Dobijamo dva pozitivna rešenja za $k .$

k_1 = 2, \quad k_2 = 1

Za prvi slučaj $k = 2 ,$ računamo dužine stranica $a$ i $b .$

a_1 = 2\sqrt{7}, \quad b_1 = 6

Za drugi slučaj $k = 1 ,$ računamo dužine stranica $a$ i $b .$

a_2 = \sqrt{7}, \quad b_2 = 3

Obe kombinacije stranica zadovoljavaju nejednakost trougla, pa zadatak ima dva rešenja.

(a, b, c) \in \{(2\sqrt{7}, 6, 2), (\sqrt{7}, 3, 2)\}

1001