Stranice a − 2, a i a + 2 uz ugao 120 stepeni

Kako je $120^\circ$ tup ugao, on mora biti najveći ugao u trouglu. Najveći ugao se uvek nalazi naspram najduže stranice. U ovom slučaju, najduža stranica je $a + 2 .$

Primenjujemo kosinusnu teoremu za stranicu $a + 2$ i njoj naspramni ugao od $120^\circ .$

(a + 2)^2 = (a - 2)^2 + a^2 - 2(a - 2)a \cos 120^\circ

Znamo da je vrednost kosinusa za $120^\circ$ jednaka $-\frac{1}{2} .$

(a + 2)^2 = (a - 2)^2 + a^2 - 2(a - 2)a \left(-\frac{1}{2}\right)

Sređujemo izraz množenjem i skraćivanjem.

(a + 2)^2 = (a - 2)^2 + a^2 + a(a - 2)

Kvadriramo binome i množimo članove.

a^2 + 4a + 4 = a^2 - 4a + 4 + a^2 + a^2 - 2a

Grupišemo sve članove na desnoj strani jednakosti.

a^2 + 4a + 4 = 3a^2 - 6a + 4

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i dobijamo kvadratnu jednačinu.

2a^2 - 10a = 0

Izvlačimo zajednički činilac $2a .$

2a(a - 5) = 0

Rešenja ove jednačine su:

a = 0 \quad \text{ili} \quad a = 5

Kako dužine stranica trougla moraju biti pozitivni brojevi, mora da važi $a - 2 > 0 ,$ odnosno $a > 2 .$ Zbog toga rešenje $a = 0$ odbacujemo i dobijamo konačno rešenje.

a = 5

Započni učenje

Online časovi

1000

Beleške