PrethodniSledeći
2953.

998.v

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao bez upotrebe računskih pomagala: a=6, a = \sqrt{6} , b=23, b = 2\sqrt{3} , c=3−3 c = 3 - \sqrt{3} ;

REŠENJE ZADATKA

Da bismo rešili trougao, potrebno je da odredimo sve njegove uglove: α, \alpha , β \beta i γ. \gamma . Prvo ćemo primeniti kosinusnu teoremu da bismo našli ugao α. \alpha .

cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Zamenićemo date vrednosti stranica u formulu.

cos⁡α=(23)2+(3−3)2−(6)22⋅23⋅(3−3)\cos \alpha = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (3 - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot (3 - \sqrt{3})}

Računamo kvadrate u brojiocu i proizvod u imeniocu.

cos⁡α=12+(9−63+3)−643(3−3)\cos \alpha = \frac{12 + (9 - 6\sqrt{3} + 3) - 6}{4\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})}

Sređujemo izraz u brojiocu i imeniocu.

cos⁡α=12+12−63−6123−12=18−63123−12\cos \alpha = \frac{12 + 12 - 6\sqrt{3} - 6}{12\sqrt{3} - 12} = \frac{18 - 6\sqrt{3}}{12\sqrt{3} - 12}

Izvlačimo zajedničke činioce kako bismo skratili razlomak. U brojiocu izvlačimo 6, a u imeniocu 12.

cos⁡α=6(3−3)12(3−1)=3−32(3−1)\cos \alpha = \frac{6(3 - \sqrt{3})}{12(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - 1)}

Racionališemo imenilac množenjem brojioca i imenioca sa 3+1. \sqrt{3} + 1 .

cos⁡α=3−32(3−1)⋅3+13+1=33+3−3−32(3−1)=234=32\cos \alpha = \frac{3 - \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3\sqrt{3} + 3 - 3 - \sqrt{3}}{2(3 - 1)} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Pošto je cos⁡α=32 \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} i ugao pripada intervalu (0∘,180∘), (0^\circ, 180^\circ) , zaključujemo da je ugao α \alpha jednak 30∘. 30^\circ .

α=30∘\alpha = 30^\circ

Sada koristimo sinusnu teoremu da bismo odredili ugao β. \beta .

asin⁡α=bsin⁡β\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}

Zamenjujemo poznate vrednosti u proporciju.

6sin⁡30∘=23sin⁡β\frac{\sqrt{6}}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin \beta}

Rešavamo jednačinu po sin⁡β, \sin \beta , znajući da je sin⁡30∘=12. \sin 30^\circ = \frac{1}{2} .

612=23sin⁡β  ⟹  26=23sin⁡β  ⟹  sin⁡β=2326=12=22\frac{\sqrt{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin \beta} \implies 2\sqrt{6} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin \beta} \implies \sin \beta = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Jednačina sin⁡β=22 \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} nam daje dva moguća ugla u trouglu: β=45∘ \beta = 45^\circ ili β=135∘. \beta = 135^\circ .

β∈{45∘,135∘}\beta \in \{45^\circ, 135^\circ\}

Da bismo odredili koji ugao je tačan, uporedićemo dužine stranica. Naspram najduže stranice nalazi se najveći ugao. Kako je b=12, b = \sqrt{12} , a=6 a = \sqrt{6} i c=9−3<6, c = \sqrt{9} - \sqrt{3} < \sqrt{6} , važi b>a>c, b > a > c , pa mora biti β>α>γ. \beta > \alpha > \gamma .

b>a>c  ⟹  β>α>γb > a > c \implies \beta > \alpha > \gamma

Ako bi bilo β=45∘, \beta = 45^\circ , treći ugao bi bio γ=180∘−30∘−45∘=105∘. \gamma = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ . Tada bi γ \gamma bio najveći ugao, što je nemoguće jer je c c najkraća stranica. Zato jedino rešenje ostaje β=135∘. \beta = 135^\circ .

β=135∘\beta = 135^\circ

Na kraju, računamo treći ugao γ \gamma koristeći zbir uglova u trouglu.

γ=180∘−(α+β)=180∘−(30∘+135∘)=180∘−165∘=15∘\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (30^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu