PrethodniSledeći
2957.

998.b

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao bez upotrebe računskih pomagala: a=3+3, a = 3 + \sqrt{3} , b=32, b = 3\sqrt{2} , α=75∘ \alpha = 75^\circ ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo, primenjujemo sinusnu teoremu kako bismo odredili ugao β. \beta .

asin⁡α=bsin⁡β  ⟹  sin⁡β=bsin⁡αa\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}

Računamo vrednost za sin⁡75∘ \sin 75^\circ koristeći adicionu formulu za sinus.

sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Zamenjujemo poznate vrednosti u izraz za sin⁡β. \sin \beta .

sin⁡β=32⋅6+243+3\sin \beta = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{3 + \sqrt{3}}

Množimo vrednosti u brojiocu i izvlačimo zajednički faktor, a imenilac takođe faktorišemo.

sin⁡β=312+3443(3+1)=63+643(3+1)=6(3+1)43(3+1)=32(3+1)3(3+1)\sin \beta = \frac{\frac{3\sqrt{12} + 3\sqrt{4}}{4}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\frac{6\sqrt{3} + 6}{4}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\frac{6(\sqrt{3} + 1)}{4}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\frac{3}{2}(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}

Skraćujemo izraz sa 3+1 \sqrt{3} + 1 i dobijamo vrednost za sin⁡β. \sin \beta .

sin⁡β=323=323=32\sin \beta = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Kako je sin⁡β=32, \sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} , ugao β \beta može biti 60∘ 60^\circ ili 120∘. 120^\circ . Međutim, ako bi bilo β=120∘, \beta = 120^\circ , zbir uglova α+β=75∘+120∘=195∘ \alpha + \beta = 75^\circ + 120^\circ = 195^\circ bi premašio 180∘, 180^\circ , što je nemoguće u trouglu. Zato usvajamo jedino moguće rešenje.

β=60∘\beta = 60^\circ

Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180∘, 180^\circ , pa računamo treći ugao γ. \gamma .

γ=180∘−(α+β)=180∘−(75∘+60∘)=180∘−135∘=45∘\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

Sada primenjujemo sinusnu teoremu da bismo izračunali dužinu treće stranice c. c .

csin⁡γ=bsin⁡β  ⟹  c=bsin⁡γsin⁡β\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} \implies c = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta}

Zamenjujemo poznate vrednosti i računamo c. c .

c=32sin⁡45∘sin⁡60∘=32⋅2232c = \frac{3\sqrt{2} \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

Uprošćavamo izraz da bismo dobili konačnu vrednost za stranicu c. c .

c=3⋅2232=332=63=23c = \frac{\frac{3 \cdot 2}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu