Rešavanje trougla: a, b i ugao alfa od 75 stepeni

Prvo, primenjujemo sinusnu teoremu kako bismo odredili ugao $\beta .$

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}

Računamo vrednost za $\sin 75^\circ$ koristeći adicionu formulu za sinus.

\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Zamenjujemo poznate vrednosti u izraz za $\sin \beta .$

\sin \beta = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{3 + \sqrt{3}}

Množimo vrednosti u brojiocu i izvlačimo zajednički faktor, a imenilac takođe faktorišemo.

\sin \beta = \frac{\frac{3\sqrt{12} + 3\sqrt{4}}{4}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\frac{6\sqrt{3} + 6}{4}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\frac{6(\sqrt{3} + 1)}{4}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\frac{3}{2}(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}

Skraćujemo izraz sa $\sqrt{3} + 1$ i dobijamo vrednost za $\sin \beta .$

\sin \beta = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Kako je $\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} ,$ ugao $\beta$ može biti $60^\circ$ ili $120^\circ .$ Međutim, ako bi bilo $\beta = 120^\circ ,$ zbir uglova $\alpha + \beta = 75^\circ + 120^\circ = 195^\circ$ bi premašio $180^\circ ,$ što je nemoguće u trouglu. Zato usvajamo jedino moguće rešenje.

\beta = 60^\circ

Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je $180^\circ ,$ pa računamo treći ugao $\gamma .$

\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

Sada primenjujemo sinusnu teoremu da bismo izračunali dužinu treće stranice $c .$

\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} \implies c = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta}

Zamenjujemo poznate vrednosti i računamo $c .$

c = \frac{3\sqrt{2} \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

Uprošćavamo izraz da bismo dobili konačnu vrednost za stranicu $c .$

c = \frac{\frac{3 \cdot 2}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

Započni učenje

Online časovi

998.b

Beleške