2954. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Primenjujemo kosinusnu teoremu da bismo odredili dužinu stranice $a .$

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu.

a^2 = (\sqrt{6})^2 + (3 + \sqrt{3})^2 - 2\sqrt{6}(3 + \sqrt{3}) \cos 45^\circ

Računamo kvadrate i menjamo vrednost za $\cos 45^\circ .$

a^2 = 6 + (9 + 6\sqrt{3} + 3) - 2\sqrt{6}(3 + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{2}

Sređujemo dobijeni izraz.

a^2 = 18 + 6\sqrt{3} - \sqrt{12}(3 + \sqrt{3})

Množimo zagradu i dalje uprošćavamo izraz.

a^2 = 18 + 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}(3 + \sqrt{3}) = 18 + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 6 = 12

Korenujemo dobijenu vrednost da bismo dobili dužinu stranice $a .$

a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

Primenjujemo sinusnu teoremu da bismo našli ugao $\beta .$

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}

Zamenjujemo poznate vrednosti u sinusnu teoremu.

\frac{2\sqrt{3}}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin \beta}

Rešavamo jednačinu po $\sin \beta .$

\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin \beta} \implies \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin \beta} \implies 2\sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{\sin \beta} \implies \sin \beta = \frac{1}{2}

Određujemo ugao $\beta .$ Pošto je $\sin \beta = \frac{1}{2} ,$ moguća rešenja su $\beta = 30^\circ$ ili $\beta = 150^\circ .$ Kako zbir uglova mora biti manji od $180^\circ ,$ a $\alpha = 45^\circ ,$ ugao $\beta$ ne može biti $150^\circ$ jer bi zbir prešao $180^\circ .$

\beta = 30^\circ

Računamo treći ugao $\gamma$ koristeći činjenicu da je zbir uglova u trouglu $180^\circ .$

\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ

998.g