TEKST ZADATKA
Rešiti trougao bez upotrebe računskih pomagala: b = 6 , b = \sqrt{6} , b = 6 , c = 3 + 3 , c = 3 + \sqrt{3} , c = 3 + 3 , α = 45 ∘ . \alpha = 45^\circ . α = 4 5 ∘ .
REŠENJE ZADATKA
Primenjujemo kosinusnu teoremu da bismo odredili dužinu stranice a . a . a .
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu.
a 2 = ( 6 ) 2 + ( 3 + 3 ) 2 − 2 6 ( 3 + 3 ) cos 45 ∘ a^2 = (\sqrt{6})^2 + (3 + \sqrt{3})^2 - 2\sqrt{6}(3 + \sqrt{3}) \cos 45^\circ a 2 = ( 6 ) 2 + ( 3 + 3 ) 2 − 2 6 ( 3 + 3 ) cos 4 5 ∘ Računamo kvadrate i menjamo vrednost za cos 45 ∘ . \cos 45^\circ . cos 4 5 ∘ .
a 2 = 6 + ( 9 + 6 3 + 3 ) − 2 6 ( 3 + 3 ) 2 2 a^2 = 6 + (9 + 6\sqrt{3} + 3) - 2\sqrt{6}(3 + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{2} a 2 = 6 + ( 9 + 6 3 + 3 ) − 2 6 ( 3 + 3 ) 2 2 Sređujemo dobijeni izraz.
a 2 = 18 + 6 3 − 12 ( 3 + 3 ) a^2 = 18 + 6\sqrt{3} - \sqrt{12}(3 + \sqrt{3}) a 2 = 18 + 6 3 − 12 ( 3 + 3 ) Množimo zagradu i dalje uprošćavamo izraz.
a 2 = 18 + 6 3 − 2 3 ( 3 + 3 ) = 18 + 6 3 − 6 3 − 6 = 12 a^2 = 18 + 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}(3 + \sqrt{3}) = 18 + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 6 = 12 a 2 = 18 + 6 3 − 2 3 ( 3 + 3 ) = 18 + 6 3 − 6 3 − 6 = 12 Korenujemo dobijenu vrednost da bismo dobili dužinu stranice a . a . a .
a = 12 = 2 3 a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} a = 12 = 2 3 Primenjujemo sinusnu teoremu da bismo našli ugao β . \beta . β .
a sin α = b sin β \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} sin α a = sin β b Zamenjujemo poznate vrednosti u sinusnu teoremu.
2 3 sin 45 ∘ = 6 sin β \frac{2\sqrt{3}}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin \beta} sin 4 5 ∘ 2 3 = sin β 6 Rešavamo jednačinu po sin β . \sin \beta . sin β .
2 3 2 2 = 6 sin β ⟹ 4 3 2 = 6 sin β ⟹ 2 6 = 6 sin β ⟹ sin β = 1 2 \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin \beta} \implies \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin \beta} \implies 2\sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{\sin \beta} \implies \sin \beta = \frac{1}{2} 2 2 2 3 = sin β 6 ⟹ 2 4 3 = sin β 6 ⟹ 2 6 = sin β 6 ⟹ sin β = 2 1 Određujemo ugao β . \beta . β . Pošto je sin β = 1 2 , \sin \beta = \frac{1}{2} , sin β = 2 1 , moguća rešenja su β = 30 ∘ \beta = 30^\circ β = 3 0 ∘ ili β = 150 ∘ . \beta = 150^\circ . β = 15 0 ∘ . Kako zbir uglova mora biti manji od 180 ∘ , 180^\circ , 18 0 ∘ , a α = 45 ∘ , \alpha = 45^\circ , α = 4 5 ∘ , ugao β \beta β ne može biti 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘ jer bi zbir prešao 180 ∘ . 180^\circ . 18 0 ∘ .
β = 30 ∘ \beta = 30^\circ β = 3 0 ∘ Računamo treći ugao γ \gamma γ koristeći činjenicu da je zbir uglova u trouglu 180 ∘ . 180^\circ . 18 0 ∘ .
γ = 180 ∘ − ( α + β ) = 180 ∘ − ( 45 ∘ + 30 ∘ ) = 180 ∘ − 75 ∘ = 105 ∘ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ γ = 18 0 ∘ − ( α + β ) = 18 0 ∘ − ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = 18 0 ∘ − 7 5 ∘ = 10 5 ∘