2955. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Da bismo našli ugao $\beta ,$ koristićemo sinusnu teoremu koja glasi:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu.

\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{\sin \beta}

Znamo da je $\sin 30^\circ = \frac{1}{2} ,$ pa jednačina postaje:

\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sin \beta}

Sređujemo izraz na levoj strani.

2\sqrt{2} = \frac{2}{\sin \beta}

Izražavamo $\sin \beta .$

\sin \beta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Racionališemo imenilac.

\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Pošto je $\sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} ,$ ugao $\beta$ može imati dve vrednosti u intervalu od $0^\circ$ do $180^\circ .$

\beta_1 = 45^\circ \quad \lor \quad \beta_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ

Razmatramo prvi slučaj kada je $\beta = 45^\circ .$ Zbir uglova u trouglu je $180^\circ ,$ pa računamo ugao $\gamma .$

\gamma_1 = 180^\circ - (\alpha + \beta_1) = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ

Razmatramo drugi slučaj kada je $\beta = 135^\circ .$ Računamo odgovarajući ugao $\gamma .$

\gamma_2 = 180^\circ - (\alpha + \beta_2) = 180^\circ - (30^\circ + 135^\circ) = 15^\circ

Oba rešenja su moguća jer u oba slučaja važi pravilo da se naspram veće stranice nalazi veći ugao ( $b > a \implies \beta > \alpha$ ). Konačna rešenja su:

(\beta_1 = 45^\circ, \gamma_1 = 105^\circ) \quad \lor \quad (\beta_2 = 135^\circ, \gamma_2 = 15^\circ)

999