2990. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Primenjujemo kosinusnu teoremu za stranicu $a .$

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Iz uslova zadatka izražavamo stranicu $c$ preko stranice $b .$

c = 7 - b

Zamenjujemo poznate vrednosti i izraz za $c$ u kosinusnu teoremu.

(\sqrt{19})^2 = b^2 + (7-b)^2 - 2b(7-b) \cos 60^\circ

Sređujemo dobijenu jednačinu. Znamo da je $\cos 60^\circ = \frac{1}{2} .$

19 = b^2 + 49 - 14b + b^2 - 2b(7-b) \cdot \frac{1}{2}

Daljim sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu po $b .$

\begin{aligned} 19 &= 2b^2 - 14b + 49 - 7b + b^2 \\ 19 &= 3b^2 - 21b + 49 \\ 3b^2 - 21b + 30 &= 0 \\ b^2 - 7b + 10 &= 0 \end{aligned}

Rešavamo kvadratnu jednačinu.

b_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}

Dobijamo dva moguća rešenja za stranicu $b$ i odgovarajuće vrednosti za stranicu $c .$

\begin{aligned} b_1 &= 5 \implies c_1 = 7 - 5 = 2 \\ b_2 &= 2 \implies c_2 = 7 - 2 = 5 \end{aligned}

Računamo površinu trougla koristeći formulu sa sinusom ugla. Pošto je proizvod $bc$ u oba slučaja isti ( $2 \cdot 5 = 10$ ), površina je jedinstvena.

P = \frac{bc \sin \alpha}{2}

Zamenjujemo vrednosti u formulu za površinu.

P = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{2} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}

1003