2978.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao ako su dati njegovi elementi: a=12,7 a = 12,7 ; α=80∘10′ \alpha = 80^\circ 10' ; b:c=7:6. b : c = 7 : 6 .

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu date razmere b:c=7:6, b : c = 7 : 6 , stranice b b i c c možemo izraziti preko koeficijenta proporcionalnosti k. k .

b=7k,c=6kb = 7k, \quad c = 6k

Primenjujemo kosinusnu teoremu kako bismo odredili vrednost koeficijenta k. k .

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu.

12,72=(7k)2+(6k)2−2(7k)(6k)cos⁡80∘10′12,7^2 = (7k)^2 + (6k)^2 - 2(7k)(6k) \cos 80^\circ 10'

Kvadriramo vrednosti i sređujemo jednačinu.

161,29=49k2+36k2−84k2cos⁡80∘10′161,29 = 49k^2 + 36k^2 - 84k^2 \cos 80^\circ 10'

Izvlačimo k2 k^2 kao zajednički činilac.

161,29=k2(85−84cos⁡80∘10′)161,29 = k^2 (85 - 84 \cos 80^\circ 10')

Računamo vrednost izraza u zagradi. Približna vrednost za cos⁡80∘10′ \cos 80^\circ 10' je 0,1708. 0,1708 .

161,29≈k2(85−84⋅0,1708)161,29 \approx k^2 (85 - 84 \cdot 0,1708)

Nastavljamo sa računanjem.

161,29≈k2(85−14,3472)  ⟹  161,29≈70,6528k2161,29 \approx k^2 (85 - 14,3472) \implies 161,29 \approx 70,6528 k^2

Izražavamo i računamo k2. k^2 .

k2≈161,2970,6528≈2,2828k^2 \approx \frac{161,29}{70,6528} \approx 2,2828

Korenujemo da bismo dobili k. k . Pošto k k predstavlja dužinu, uzimamo samo pozitivnu vrednost.

k≈2,2828≈1,5109k \approx \sqrt{2,2828} \approx 1,5109

Sada možemo izračunati dužine stranica b b i c. c .

b≈7⋅1,5109≈10,58c≈6⋅1,5109≈9,07\begin{aligned} b &\approx 7 \cdot 1,5109 \approx 10,58 \\ c &\approx 6 \cdot 1,5109 \approx 9,07 \end{aligned}

Koristimo sinusnu teoremu da bismo odredili ugao β. \beta .

bsin⁡β=asin⁡α  ⟹  sin⁡β=bsin⁡αa\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha} \implies \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}

Zamenjujemo poznate vrednosti. Približna vrednost za sin⁡80∘10′ \sin 80^\circ 10' je 0,9853. 0,9853 .

sin⁡β≈10,58⋅0,985312,7≈0,8208\sin \beta \approx \frac{10,58 \cdot 0,9853}{12,7} \approx 0,8208

Određujemo ugao β \beta na osnovu vrednosti sinusa. Pošto je stranica b<a, b < a , mora važiti i β<α, \beta < \alpha , pa je ugao β \beta oštar.

β≈arcsin⁡(0,8208)≈55∘10′\beta \approx \arcsin(0,8208) \approx 55^\circ 10'

Zbir uglova u trouglu je 180∘, 180^\circ , pa ugao γ \gamma računamo oduzimanjem poznatih uglova.

γ=180∘−(α+β)\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)

Zamenjujemo vrednosti uglova i računamo γ. \gamma .

γ≈180∘−(80∘10′+55∘10′)=180∘−135∘20′=44∘40′\gamma \approx 180^\circ - (80^\circ 10' + 55^\circ 10') = 180^\circ - 135^\circ 20' = 44^\circ 40'

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti