2978. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Na osnovu date razmere $b : c = 7 : 6 ,$ stranice $b$ i $c$ možemo izraziti preko koeficijenta proporcionalnosti $k .$

b = 7k, \quad c = 6k

Primenjujemo kosinusnu teoremu kako bismo odredili vrednost koeficijenta $k .$

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu.

12,7^2 = (7k)^2 + (6k)^2 - 2(7k)(6k) \cos 80^\circ 10'

Kvadriramo vrednosti i sređujemo jednačinu.

161,29 = 49k^2 + 36k^2 - 84k^2 \cos 80^\circ 10'

Izvlačimo $k^2$ kao zajednički činilac.

161,29 = k^2 (85 - 84 \cos 80^\circ 10')

Računamo vrednost izraza u zagradi. Približna vrednost za $\cos 80^\circ 10'$ je $0,1708 .$

161,29 \approx k^2 (85 - 84 \cdot 0,1708)

Nastavljamo sa računanjem.

161,29 \approx k^2 (85 - 14,3472) \implies 161,29 \approx 70,6528 k^2

Izražavamo i računamo $k^2 .$

k^2 \approx \frac{161,29}{70,6528} \approx 2,2828

Korenujemo da bismo dobili $k .$ Pošto $k$ predstavlja dužinu, uzimamo samo pozitivnu vrednost.

k \approx \sqrt{2,2828} \approx 1,5109

Sada možemo izračunati dužine stranica $b$ i $c .$

\begin{aligned} b &\approx 7 \cdot 1,5109 \approx 10,58 \\ c &\approx 6 \cdot 1,5109 \approx 9,07 \end{aligned}

Koristimo sinusnu teoremu da bismo odredili ugao $\beta .$

\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha} \implies \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}

Zamenjujemo poznate vrednosti. Približna vrednost za $\sin 80^\circ 10'$ je $0,9853 .$

\sin \beta \approx \frac{10,58 \cdot 0,9853}{12,7} \approx 0,8208

Određujemo ugao $\beta$ na osnovu vrednosti sinusa. Pošto je stranica $b < a ,$ mora važiti i $\beta < \alpha ,$ pa je ugao $\beta$ oštar.

\beta \approx \arcsin(0,8208) \approx 55^\circ 10'

Zbir uglova u trouglu je $180^\circ ,$ pa ugao $\gamma$ računamo oduzimanjem poznatih uglova.

\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)

Zamenjujemo vrednosti uglova i računamo $\gamma .$

\gamma \approx 180^\circ - (80^\circ 10' + 55^\circ 10') = 180^\circ - 135^\circ 20' = 44^\circ 40'

1009.д