2982. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Koristeći formulu za površinu trougla, možemo izraziti proizvod stranica $b$ i $c .$

S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha \implies bc = \frac{2S}{\sin \alpha}

Sada imamo zbir $b+c$ i proizvod $bc .$ Stranice $b$ i $c$ su rešenja kvadratne jednačine po pomoćnoj promenljivoj $t .$

t^2 - (b+c)t + bc = 0

Zamenom izraza za $bc$ dobijamo jednačinu iz koje računamo $b$ i $c .$

t^2 - (b+c)t + \frac{2S}{\sin \alpha} = 0

Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo dužine stranica $b$ i $c .$

t_{1,2} = \frac{(b+c) \pm \sqrt{(b+c)^2 - \frac{8S}{\sin \alpha}}}{2}

Stranicu $a$ računamo pomoću kosinusne teoreme. Prvo ćemo izraziti zbir kvadrata $b^2 + c^2$ preko kvadrata zbira i proizvoda.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha = (b+c)^2 - 2bc - 2bc \cos \alpha

Grupisanjem članova i zamenom $bc = \frac{2S}{\sin \alpha}$ dobijamo izraz za $a^2 .$

a^2 = (b+c)^2 - 2bc(1 + \cos \alpha) = (b+c)^2 - \frac{4S(1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha}

Koristeći trigonometrijske identitete za polovinu ugla $1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2}$ i $\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} ,$ razlomak se može uprostiti.

\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \cot \frac{\alpha}{2}

Zamenom ovog identiteta dobijamo konačnu formulu za stranicu $a .$

a = \sqrt{(b+c)^2 - 4S \cot \frac{\alpha}{2}}

Preostale uglove $\beta$ i $\gamma$ računamo pomoću sinusne teoreme, s obzirom na to da su sada poznate sve tri stranice i ugao $\alpha .$

\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}, \quad \sin \gamma = \frac{c \sin \alpha}{a}

1008.е