2981. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Na osnovu sinusne teoreme, možemo odrediti sinus ugla $\alpha$ koji se nalazi naspram stranice $a .$

\frac{a}{\sin \alpha} = 2R \implies \sin \alpha = \frac{a}{2R}

Zamenom poznatih vrednosti računamo $\sin \alpha .$

\sin \alpha = \frac{3}{2 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\frac{14\sqrt{3}}{3}} = \frac{9}{14\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{14 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{14}

Pošto je $a$ najmanja stranica trougla, ugao $\alpha$ mora biti oštar, što znači da je $\cos \alpha > 0 .$ Računamo $\cos \alpha .$

\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{27}{196}} = \sqrt{\frac{169}{196}} = \frac{13}{14}

Koristimo formulu za površinu trougla kako bismo odredili proizvod stranica $b$ i $c .$

P = \frac{bc \sin \alpha}{2} \implies bc = \frac{2P}{\sin \alpha}

Zamenom vrednosti za površinu i sinus ugla računamo $bc .$

bc = \frac{2 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4}}{\frac{3\sqrt{3}}{14}} = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{14}} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 3} = 5 \cdot 7 = 35

Sada primenjujemo kosinusnu teoremu za stranicu $a$ kako bismo našli zbir kvadrata stranica $b$ i $c .$

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Zamenom poznatih vrednosti dobijamo $b^2 + c^2 .$

3^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot 35 \cdot \frac{13}{14} \implies 9 = b^2 + c^2 - 5 \cdot 13 \implies b^2 + c^2 = 9 + 65 = 74

Dobili smo sistem jednačina sa nepoznatima $b$ i $c .$

\begin{cases} bc = 35 \\ b^2 + c^2 = 74 \end{cases}

Ovaj sistem možemo rešiti tako što ćemo izračunati kvadrat zbira i kvadrat razlike stranica $b$ i $c .$

\begin{aligned} (b+c)^2 &= b^2 + c^2 + 2bc = 74 + 2 \cdot 35 = 144 \\ (b-c)^2 &= b^2 + c^2 - 2bc = 74 - 2 \cdot 35 = 4 \end{aligned}

Pošto su $b$ i $c$ stranice trougla, njihov zbir mora biti pozitivan ( $b+c = 12$ ). Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je $b > c ,$ pa je razlika pozitivna ( $b-c = 2$ ).

\begin{cases} b+c = 12 \\ b-c = 2 \end{cases}

Sabiranjem i oduzimanjem ovih jednačina dobijamo dužine preostalih stranica.

2b = 14 \implies b = 7, \quad 2c = 10 \implies c = 5

1006