2984. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Koristimo formulu za površinu trougla kako bismo odredili sinus ugla $\gamma$ koji zahvataju stranice $a$ i $b .$

P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \implies \frac{12}{13} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \sin \gamma \implies \sin \gamma = \frac{12}{13}

Pošto je trougao oštrougli, svi uglovi su manji od $90^\circ ,$ pa je kosinus ugla pozitivan. Računamo $\cos \gamma$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet.

\cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2 \gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}

Primenjujemo kosinusnu teoremu da bismo izračunali kvadrat treće stranice $c .$

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{5}{13} = 1 + 4 - \frac{20}{13} = 5 - \frac{20}{13} = \frac{45}{13}

Iz sinusne teoreme $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$ izražavamo kvadrate sinusa preostala dva ugla.

\sin^2 \alpha = \frac{a^2 \sin^2 \gamma}{c^2}, \quad \sin^2 \beta = \frac{b^2 \sin^2 \gamma}{c^2}

Zamenjujemo poznate vrednosti da bismo izračunali $\sin^2 \alpha .$

\sin^2 \alpha = \frac{1^2 \cdot \left(\frac{12}{13}\right)^2}{\frac{45}{13}} = \frac{\frac{144}{169}}{\frac{45}{13}} = \frac{144 \cdot 13}{169 \cdot 45} = \frac{16}{13 \cdot 5} = \frac{16}{65}

Na isti način računamo $\sin^2 \beta .$

\sin^2 \beta = \frac{2^2 \cdot \left(\frac{12}{13}\right)^2}{\frac{45}{13}} = 4 \cdot \frac{16}{65} = \frac{64}{65}

Sada računamo traženi zbir kvadrata sinusa svih uglova trougla.

\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = \frac{16}{65} + \frac{64}{65} + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{80}{65} + \frac{144}{169} = \frac{16}{13} + \frac{144}{169} = \frac{16 \cdot 13 + 144}{169} = \frac{352}{169}

1007