2979. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Zapisujemo poluprečnik opisanog kruga u obliku razlomka radi lakšeg računanja.

R = 8,125 = \frac{8125}{1000} = \frac{65}{8}

Koristimo sinusnu teoremu da bismo našli sinus ugla $\alpha$ koji se nalazi naspram stranice $a .$

\frac{a}{\sin \alpha} = 2R \implies \sin \alpha = \frac{a}{2R}

Zamenjujemo poznate vrednosti i računamo $\sin \alpha .$

\sin \alpha = \frac{15}{2 \cdot \frac{65}{8}} = \frac{15}{\frac{65}{4}} = \frac{60}{65} = \frac{12}{13}

Pošto je trougao oštrougli, svi uglovi su manji od $90^\circ ,$ pa je kosinus svakog ugla pozitivan. Računamo $\cos \alpha$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet.

\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}

Sada koristimo kosinusnu teoremu da bismo postavili jednačinu za nepoznatu stranicu $c .$

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu.

15^2 = 13^2 + c^2 - 2 \cdot 13 \cdot c \cdot \frac{5}{13}

Sređujemo jednačinu i dobijamo kvadratnu jednačinu po $c .$

225 = 169 + c^2 - 10c \implies c^2 - 10c - 56 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu.

c_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56)}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 224}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{10 \pm 18}{2}

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine.

c_1 = \frac{28}{2} = 14, \quad c_2 = \frac{-8}{2} = -4

Pošto dužina stranice trougla mora biti pozitivan broj, odbacujemo negativno rešenje. Zaključujemo da je dužina treće stranice $c = 14 .$

c = 14

1005