2975. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Primenom sinusne teoreme računamo dužinu stranice $a .$

\frac{a}{\sin \alpha} = 2R \implies a = 2R \sin \alpha

Zamenom poznatih vrednosti dobijamo:

a = 2 \cdot 3{,}5 \cdot \sin(51^\circ 10') = 7 \cdot 0{,}779 \approx 5{,}45

Kosinusna teorema za stranicu $a$ glasi:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Znamo da je $b^2 + c^2 = (b+c)^2 - 2bc ,$ pa jednačina postaje:

a^2 = (b+c)^2 - 2bc - 2bc \cos \alpha = (b+c)^2 - 2bc(1 + \cos \alpha)

Zamenom $a \approx 5{,}45 ,$ $b+c = 8$ i $\cos(51^\circ 10') \approx 0{,}627$ računamo proizvod $bc .$

5{,}45^2 = 8^2 - 2bc(1 + 0{,}627) \implies 29{,}7 = 64 - 3{,}254bc

Rešavanjem ove jednačine dobijamo vrednost za $bc .$

3{,}254bc = 64 - 29{,}7 = 34{,}3 \implies bc \approx 10{,}54

Sada imamo sistem jednačina $b+c = 8$ i $bc = 10{,}54 .$ Brojevi $b$ i $c$ su rešenja kvadratne jednačine:

t^2 - 8t + 10{,}54 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 10{,}54}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{21{,}84}}{2} \approx \frac{8 \pm 4{,}67}{2}

Dobijamo dva moguća rešenja za stranice $b$ i $c .$

t_1 \approx 6{,}34, \quad t_2 \approx 1{,}66

Zbog simetrije, imamo dva slučaja. Prvi slučaj je kada je $b$ duža stranica:

b_1 = 6{,}34, \quad c_1 = 1{,}66

Za prvi slučaj računamo ugao $\beta$ pomoću sinusne teoreme.

\sin \beta = \frac{b_1}{2R} = \frac{6{,}34}{7} \approx 0{,}906

Pošto je $b_1^2 > a^2 + c_1^2$ ( $40{,}2 > 29{,}7 + 2{,}7$ ), ugao $\beta$ mora biti tup.

\beta \approx 180^\circ - 64^\circ 54' = 115^\circ 6'

Ugao $\gamma$ računamo koristeći zbir uglova u trouglu.

\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (51^\circ 10' + 115^\circ 6') = 13^\circ 44'

Za drugi slučaj ( $b_2 = 1{,}66 ,$ $c_2 = 6{,}34$ ), uglovi $\beta$ i $\gamma$ menjaju uloge.

\beta = 13^\circ 44', \quad \gamma = 115^\circ 6'

1009.б