2977. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Prvo računamo treći ugao trougla, $\beta ,$ koristeći činjenicu da je zbir unutrašnjih uglova u trouglu $180^\circ :$

\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) = 180^\circ - (18^\circ + 12,15^\circ) = 180^\circ - 30,15^\circ = 149,85^\circ

Poluobim trougla $s$ se može izraziti preko poluprečnika opisanog kruga $R$ i uglova trougla. Prema sinusnoj teoremi važi $a = 2R \sin \alpha ,$ $b = 2R \sin \beta$ i $c = 2R \sin \gamma ,$ pa dobijamo:

s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2R \sin \alpha + 2R \sin \beta + 2R \sin \gamma}{2} = R(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)

Za zbir sinusa unutrašnjih uglova u trouglu važi poznati trigonometrijski identitet:

\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}

Zamenom ovog identiteta u izraz za poluobim dobijamo:

s = 4R \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}

Stranicu $a$ možemo zapisati koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla:

a = 2R \sin \alpha = 4R \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Deljenjem izraza za stranicu $a$ izrazom za poluobim $s ,$ poluprečnik $R$ se skraćuje i dobijamo direktnu formulu za stranicu:

\frac{a}{s} = \frac{4R \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{4R \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}} \implies a = s \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}}

Na isti način, analognim postupkom, dobijamo i formule za preostale dve stranice:

b = s \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\gamma}{2}}, \quad c = s \frac{\sin \frac{\gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}}

Računamo polovine uglova trougla koje su nam potrebne za formule:

\frac{\alpha}{2} = 9^\circ, \quad \frac{\beta}{2} = 74,925^\circ, \quad \frac{\gamma}{2} = 6,075^\circ

Ubacujemo poznate vrednosti u formulu za stranicu $a$ i računamo njenu približnu vrednost:

a = 24,5 \cdot \frac{\sin 9^\circ}{\cos 74,925^\circ \cos 6,075^\circ} \approx 24,5 \cdot \frac{0,1564}{0,2601 \cdot 0,9944} \approx 14,82

Slično, računamo stranicu $b :$

b = 24,5 \cdot \frac{\sin 74,925^\circ}{\cos 9^\circ \cos 6,075^\circ} \approx 24,5 \cdot \frac{0,9656}{0,9877 \cdot 0,9944} \approx 24,09

Na kraju, računamo i stranicu $c :$

c = 24,5 \cdot \frac{\sin 6,075^\circ}{\cos 9^\circ \cos 74,925^\circ} \approx 24,5 \cdot \frac{0,1058}{0,9877 \cdot 0,2601} \approx 10,09

1009.a